cho a, b, c >0. c/m rằng: bc/a+ca/b+ab/c>= a+b+c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 7 2019
\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)
=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
LQ
2
PN
24 tháng 3 2016
Dễ dàng chứng minh được với \(a,b>0:\)
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^3}{b}+b^2\ge a\left(a+b\right)\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị theo bđt trên, ta có:
\(\frac{b^3}{c}+c^2\ge b\left(b+c\right)\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{c^3}{a}+a^2\ge c\left(c+a\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)=ab+bc+ca+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a,b,c>0\) nên \(a^2+b^2+c^2\ne0\)
Do đó, trừ cả hai vế của bđt trên cho \(a^2+b^2+c^2\) ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh, tức là:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
31 tháng 3 2016
a3/b+b3/c+c3/a=a4/ab+b4/bc+c4/ca>=(a2+b2+c2)2/ab+bc+ac>=(ab+bc+ca)2/ab+bc+ca=ab+bc+ca
dấu đẳng thức xảy ra<=>x=y=z
HP
1
11 tháng 5 2016
Áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
a^3/b +a^3/b +b^2 \(\ge\)3.a^2
\(\Rightarrow\)2a^3/b +b^2>=3a^2
Tương tự : +2b^3/c +c^2 \(\ge\)3.b^2 (1)
+2c^3/a +a^2 \(\ge\)3.c^2 (2)
Ta cộng (1) và (2) được :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) \(\ge\)3.(a^2+b^2+c^2)
\(\Rightarrow\)a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)a^2+b^2+c^2
Mặt khác : a^2+b^2+c^2 \(\ge\)ab+bc+ca
Nên : a^3/b+b^3/c+c^3/a \(\ge\)ab+bc+ca
Vậy đpcm
HT
4
24 tháng 3 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
tương tự
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
cộng lại ta được
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
mặt khác
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca
dấu = xảy ra khi a=b=c
24 tháng 8 2020
Ta chứng minh:\(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+bc+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)\(\Leftrightarrow a\ge a\left(a+2\sqrt{bc}\right)\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow b+c-2\sqrt{bc}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
CMTT\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)
\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)Vậy ......
(Dấu = xảy ra (=) a=b=c=1/3
3 tháng 2 2017
Ta có: abc > 0 nên xảy ra 2 trường hợp hoặc là a,b,c đều dương (bài toán được chứng minh) hoặc trong 3 số sẽ có 2 số âm 1 số dương.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(\hept{\begin{cases}a< 0\\b< 0\\c>0\end{cases}}\)
Ta đặt: \(\hept{\begin{cases}a=-x\left(x>0\right)\\b=-y\left(y>0\right)\end{cases}}\) thì theo đề bài ta có
\(\hept{\begin{cases}c-x-y>0\\xy-cx-xy>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c>x+y\left(1\right)\\xy>cx+cy\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) ta có thể suy ra được: \(\hept{\begin{cases}cx>x^2+xy\\cy>y^2+xy\end{cases}}\)
\(\Rightarrow cx+cy>x^2+2xy+y^2\left(3\right)\)
Từ (2) và (3) ta có: \(xy>cx+cy>x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow0>x^2+xy+y^2\) (sai)
Từ đây ta thấy rằng chỉ có trường hợp \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\\c>0\end{cases}}\) là đúng
3 tháng 2 2017
Rõ rảng abc > 0 nên a,b,c phải khác 0
+ Giả sử trong a,b,c có 1 số bé hơn 0,vì vai trò a,b,c như nhau giả sử là a ta có
a < 0 ,do abc > 0 => bc < 0 do a(b + c) + bc > 0 => a(b + c) > -bc hay a(b + c) > 0 do a < 0 => b + c < 0
=> a + b + c < 0 mâu thuẫn với 1 giả thiết a + b + c > 0
+ Giả sử có 2 số nhỏ hơn không,tương tự giả sử là a và b ta có
a + b + c > 0 => c > 0 => abc < 0 mâu thuẫn
+ còn a,b,c đều nhỏ hơn 0 thì hiển nhiên a + b + c < 0 mâu thuẫn với a + b + c > 0
Vậy bất buộc cả 3 a,b,c đều phải đồng thời lớn hơn 0
Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương, ta có :
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}=2c\) (1)
Tiếp tục ta lại có :
\(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\) (2)
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c}\ge2b\) (3)
Cộng từng vế của (1),(2).(3) ta có :
\(2\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
Rút gọn ta => ĐPCM .