Bài 1 : Cho \(a,b,c,d\in Z\) . Biết a+b=c+d và ab+1=cd. CMR : c=d
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LY
0
OP
1
TD
14 tháng 7 2016
1. 11n+2 + 122n+1
= 11n. 121 + 144n.12
=11n.(133-12) + 144n.12
= 11n.133 + 12(144n - 11n)
11n.133 chia het cho 133
144n-11n chia hết cho 144-11=133
DV
1
CC
27 tháng 1 2019
a+b=c+d
=>d=a+b-c
Ta có: ab=cd+1
nên: ab-c(a+b-c)=1
=>ab-ac-bc+2c=1
=>a(b-c)-c(b-c)=1
=>(a-c)(b-c)=1
=>a-c=b-c
=>a=b
=>a2019=b2019
=>a2019-b2019=0
SK
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2022
1. Đề sai, ví dụ (a;b;c)=(1;2;2) hay (1;2;7) gì đó
2. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 số a;b;c;d luôn có ít nhất 2 số đồng dư khi chia 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b thì \(a-b⋮3\)
Ta có 2 TH sau:
- Trong 4 số có 2 chẵn 2 lẻ, giả sử a, b chẵn và c, d lẻ \(\Rightarrow a-b,c-d\) đều chẵn \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\) Tích đã cho chia hết 12
- Trong 4 số có nhiều hơn 3 số cùng tính chẵn lẽ, khi đó cũng luôn có 2 hiệu chẵn (tương tự TH trên) \(\Rightarrowđpcm\)
3. Với \(n=1\) thỏa mãn
Với \(n>1\) ta có \(3^n\equiv\left(5-2\right)^n\equiv\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow n.2^n+3^n\equiv n.2^n+\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
Mặt khác \(n.2^n+\left(-2\right)^n=2^n\left(n+\left(-1\right)^n\right)\)
Mà \(2^n⋮̸5\Rightarrow n+\left(-1\right)^n⋮5\)
TH1: \(n=2k\Rightarrow2k+1⋮5\Rightarrow2k+1=5\left(2m+1\right)\Rightarrow k=5m+2\)
\(\Rightarrow n=10m+4\)
TH2: \(n=2k+1\Rightarrow2k+1-1⋮5\Rightarrow2k⋮5\Rightarrow k=5t\Rightarrow n=10t+1\)
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}n=10k+4\\n=10k+1\end{matrix}\right.\) (\(k\in N\)) thì số đã cho chia hết cho 5
ta có a+ b = c + d
=> b.(a+b) = b(c+d) => a.b + b2 = bc + bd mà ab = cd + 1 nên
cd + 1 + b2 = bc + bd => bc - cd + bd - b2 = 1 => c(b - d) + b.(d - b) = 1 => (c - b)(b - d) = 1 . Vì a, b, c, d nguyên nên c - b và b - d cũng nguyên. do đó c - b = b - d = 1 hoặc c - b = b -d = -1
c - b = b - d => c + d = 2.b Mà c + d = a+ b => 2.b = a+ b => b = a => đpcm
Từ a+b = c+d => a=c+d-b Từ 2 điều này => (c+d-b).b+1=cd
Mà ab+1=cd cb+db-\(b^2\)+1=cd
=> cb+db-\(b^2\)-cd=-1
Hay \(b^2\)-cd-cb-db=1
=> ( \(b^2\)-cb)-(db-cd)=1
=> b(b-c)-d(b-c)=1
=> (b-c).(b-d)=1
Vì a,b,c,d \(\in\) Z => \(\left\{{}\begin{matrix}b-c\in Z\\b-d\in Z\end{matrix}\right.\)
=> b-c=b-d=1
Hoặc b-c=b-d=-1
=> c=d hoặc d=c
Vậy c=d(ĐPCM)