Question

[Ngọc Hân Đỗ]

Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có \(a+b+c\) chia hết cho $6$

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^3\vdots 6\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\vdots 6\) \((1)\)

Theo định lý Dirichlet, trong ba số \(a,b,c\) luôn tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho $2$, không mất tính tổng quát giả sử là hai số đó là \(a\equiv b\equiv r\pmod 2\)

\(\Rightarrow a+b\equiv 2r\equiv 0\pmod 2\)

Do đó \((a+b)(b+c)(c+a)\vdots 2\forall a,b,c\in\mathbb{N}\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\vdots 6\)

Kết hợp với $(1)$ suy ra \(a+b+c\vdots 6\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\vdots 6\)

Ta có đpcm

Answer 2

[Khanh Tay Mon]

Ta có a+b+ca+b+c chia hết cho 66

⇔(a+b+c)3⋮6⇔a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)⋮6⇔(a+b+c)3⋮6⇔a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)⋮6 (1)(1)

Theo định lý Dirichlet, trong ba số a,b,ca,b,c luôn tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 22, không mất tính tổng quát giả sử là hai số đó là a≡b≡r(mod2)a≡b≡r(mod2)

⇒a+b≡2r≡0(mod2)⇒a+b≡2r≡0(mod2)

Do đó (a+b)(b+c)(c+a)⋮2∀a,b,c∈N⇒3(a+b)(b+c)(c+a)⋮6(a+b)(b+c)(c+a)⋮2∀a,b,c∈N⇒3(a+b)(b+c)(c+a)⋮6

Kết hợp với (1)(1) suy ra a+b+c⋮6⇔a3+b3+c3⋮6a+b+c⋮6⇔a3+b3+c3⋮6

Ta có đpcm.Chuc ban thi tot