Question

[Pham Hoàng Lâm]

từ M tùy ý trong tam giác ABC, các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt BC, CA, AB tại E,F,D.

CMR: \(\frac{ME}{AE}+\frac{MF}{BF}+\frac{MD}{CD}=1\)

Answer 1

[Mr Lazy]

Gọi MH là đường cao kẻ từ M của tam giác MBC, AK là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Do MH vuông BC và AK vuông BC nên MH // AK

=> Theo Talet: \(\frac{ME}{AE}=\frac{MH}{AK}\)

Lại có: \(\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.BC}{\frac{1}{2}.AK.BC}=\frac{MH}{MK}\)

Tương tự ta có: \(\frac{MF}{BF}=\frac{S_{MAC}}{S_{ABC}};\frac{MD}{CD}=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}\)

Cộng theo vế: \(\frac{ME}{AE}+\frac{MF}{BF}+\frac{MD}{CD}=\frac{S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)