Chứng minh rằng phân số \(\dfrac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản với \(n\in N\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 5 2017
Ta có: \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}=\frac{5n+2}{6n^2+5n+1}\)
Giả sử d là ước chung lớn nhất của \(\left(5n+2\right);\left(6n^2+5n+1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6.\left(5n+2\right)^2⋮d\\25.\left(6n^2+5n+1\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow25\left(6n^2+5n+1\right)-6\left(5n+2\right)^2⋮d\)
\(\Rightarrow5n+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(5n+2\right)-\left(5n+1\right)=1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\frac{5n+2}{\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)}\)là phân số tối giản
CV
9 tháng 6 2017
Gọi d = (5n + 3 ; 3n + 2) (d thuộc N)
=> (5n + 3) chia hết cho d và (3n + 2) chia hết cho d
=> 5.(3n + 2) - 3.(5n + 3) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1 (vì d thuộc N)
=> ƯCLN(5n + 3 ; 3n + 2) = 1
=> Phân số 5n+3/3n+2 tối giản với mọi n thuộc N
28 tháng 1 2022
Gọi Ư(n+1;2n+3) = d ( \(d\in\)N*)
\(n+1=2n+2\left(1\right);2n+3\left(2\right)\)
Lấy (2 ) - (1) ta được : \(2n+3-2n+2=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
Gọi Ư\(\left(3n+2;5n+3\right)=d\)( d \(\in\)N*)
\(3n+2=15n+10\left(1\right);5n+3=15n+9\left(2\right)\)
Lấy (!) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9=1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ta có đpcm
R
28 tháng 1 2022
a) Gọi \(d\) là UCLN \(\left(n+1,2n+3\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
b) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Mà 2n+3 là số lẻ nên
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
c) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\left(d\in N\right)\)
Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)
12 tháng 4 2023
Gọi Ư( n+1; 2 n+3 ) = d ( d∈N* )
n +1 = 2n + 2 (1) ; 2n+3*) (2)
Lấy (2 ) - (1) ta được : 2n + 3 - 2n + 2 = 1:d => d =1
vậy ta có đpcm
gọi Ư ( 3n + 2 ; 5n + 3 ) = d ( d∈N* )
3n +2 = 15 n + 10 (1) ; 5n + 3 =15n + 9 (2)
lấy (!) - (2) ta được 15n + 10 - 15n - 9 = 1:d => d = 1
Vậy ta có đpcm
AD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 8 2021
Đặt \(d=ƯC\left(2n+1;2n^2+2n\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2+2n⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)-2\left(2n^2+2n\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow2n+1\) và \(2n\left(n+1\right)\) nguyên tố cùng nhau hay phân số đã cho tối giản với mọi n nguyên
17 tháng 6 2022
Bài 1:
Theo đề, ta có:
\(\dfrac{a+6}{b+14}=\dfrac{3}{7}\)
=>7a+42=3b+42
=>7a=3b
hay a/b=3/7
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
\(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}=\dfrac{2n+1}{2n^2+2n}\)
Đặt \(d=ƯC\left(2n+1;2n^2+2n\right)\)
\(\Rightarrow2n^2+2n-n\left(2n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow n⋮d\)
\(\Rightarrow2n+1-2.n⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow2n+1\) và \(2n\left(n+1\right)\) nguyên tố cùng nhau hay phân số đã cho tối giản
11 tháng 5 2022
a: Gọi d=UCLN(2n+1;3n+2)
\(\Leftrightarrow6n+4-6n-3⋮d\)
=>d=1
=>Phân số tối giản
b: Gọi d=UCLN(3n+2;5n+3)
\(\Leftrightarrow15n+10-15n-9⋮d\)
=>d=1
=>Phân số tối giản
11 tháng 5 2022
a: Gọi d=UCLN(2n+1;3n+2)
\(\Leftrightarrow6n+4-6n-3⋮d\)
=>d=1
=>Phân số tối giản
b: Gọi d=UCLN(3n+2;5n+3)
\(\Leftrightarrow15n+10-15n-9⋮d\)
=>d=1
=>Phân số tối giản
Giả sử phân số trên chưa tối giản
=> Tồn tại một số nguyên tố d để : \(5n+2⋮d\) và \(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
+) \(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
Mà : d nguyên tố
=> \(3n+1⋮d\) hay \(2n+1⋮d\)
+) Nếu : \(3n+1⋮d\)
\(5\in N\Rightarrow5\left(3n+1\right)⋮d\Rightarrow15n+5⋮d\)
\(5n+2⋮d\) ; \(3\in N\Rightarrow3\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow15n+6⋮d\)
\(\Rightarrow\left(15n+6\right)-\left(15n+5\right)⋮d\)
\(\Rightarrow15n+6-15n-5⋮d\Rightarrow1⋮d\)
d là ước của 1 \(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\) ( Vô lý vì d nguyên tố )
=> loại
+) Nếu \(2n+1⋮d\)
\(5\in N\Rightarrow5\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow10n+5⋮d\)
\(5n+2⋮d;2\in N\Rightarrow2\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow10n+4⋮d\)
\(\Rightarrow\left(10n+5\right)-\left(10n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow10n+5-10n-4⋮d\Rightarrow1⋮d\)
d là ước của 1 \(\Rightarrow d\in\left\{-1;1\right\}\) ( Vô lý vì d nguyên tố )
=> loại => Giả sử sai
Để cm phân số bất kì tối giản thì chúng ta hãy cm rằng tử và mẫu cua chúng có UCLN là \(\pm\)1 .
Gọi d là UC( 5n+2;(3n+1)(2n+1)).
\(5n+2⋮d\) và\(\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)⋮d\)
mà d là snt nên \(3n+1⋮d\) hoặc \(2n+1⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)\(3\left(5n+2\right)⋮d\)và \(5\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow\)\(15n+6⋮d\)và \(15n+5⋮d\)
\(\Leftrightarrow15n+6-\left(15n+5\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow d\in U\left(1\right)\)\(=\left\{\pm1\right\}\)
Vậy phân số đã cho tối giản.
Chúc bạn học tốt !!!