Question

[cha gong-won]

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ \(MI\perp AB,MK\perp AC\) (\(I\in AB,K\in AC\))

a. vẽ MP\(\perp\)BC (P\(\in\)BC). chứng minh góc MPK= góc MBC

b. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC đề tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

[Mysterious Person]

a) xét tứ giác KMPC ta có : MPC = 90 (MP\(\perp\)BC)

MKC = 90 (MK\(\perp\)AC)

\(\Rightarrow\) MPC + MKC = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác KMPC nội tiếp

\(\Rightarrow\) MPK = MCK (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MK của tứ giác KMPC)

MCK = MBC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắng cung CM của (o))

\(\Rightarrow\) MPK = MBC (đpcm)

Answer 2

[Mysterious Person]

xét tứ giác PBMI ta có :

BPM = 90 (MP\(\perp\)BC)

BIM = 90 (MI\(\perp\)BA)

\(\Rightarrow\) BPM + BIM = 180

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác PBMI là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\) MIP = MBP (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MP của tứ giác PBMI )

mà MBP = MPK (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\) MIP = MPK

ta có : PMI + PBI = 180

PMK + PCK = 180

mà ABC = ACB

\(\Rightarrow\) PMK = PMI

xét \(\Delta\) MIP và \(\Delta\) MPK

ta có : PMK = PMI (chứng minh trên)

MIP = MPK (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) MIP đồng dạng \(\Delta\) MPK

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{MI}{MP}\) = \(\dfrac{MP}{MK}\) \(\Leftrightarrow\) MP² = MI . MK

\(\Rightarrow\) MI . MK . MP = MP³

\(\Rightarrow\) MI . MK . MP lớn nhất \(\Leftrightarrow\) MP lớn nhất

\(\Rightarrow\) M nằm chính giửa BC