CM bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 3 2019
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự cộng lại...
NH
9
PN
2 tháng 8 2020
\(bđt< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+b^2\ge2ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh
DG
3
S
22 tháng 6 2019
\(a,b>0\Rightarrow\frac{1}{a};\frac{1}{b}>0\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
22 tháng 4 2019
xét \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
vì a và b là số dương nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\forall a,b\in R^+\)
vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
CD
2
22 tháng 6 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) \(\left(a,b>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
22 tháng 6 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+2ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
Vì a,b>0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)( bất dẳng thức đúng)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b
LD
2 tháng 1 2019
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà theo Cô-si ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
5 tháng 9 2018
\(1\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow1-a\le0\Rightarrow c\left(1-a\right)\le0\Rightarrow4+c-ca\le4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{1}{4}\)
CM tương tự \(\Rightarrow\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ca}\ge\frac{3}{4}\)
Ta cần CM \(\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\)
Thật vậy \(a,b,c\ge1\Rightarrow abc\ge1\)\(\Rightarrow3+abc\ge4\Rightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{3+abc}\)
Dấu "="xảy ra khi a=b=c=1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)* luôn đúng *
Dấu ''='' xảy ra khi a = b