cho 2 số thực dương a,b CM
ab+a/b+b/a> a+b+1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LP
1
15 tháng 2 2018
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\a+c=y\\b+c=z\end{cases}}\)
Do a+b+c = 1 \(\Leftrightarrow x+y+z=2\)
Ta có :
\(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
\(=\text{Sima}\frac{xy}{z}=\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\)
Ta có : \(2\text{Sima}\frac{xy}{z}=\left(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\right)+\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\right)+\left(\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\right)\)
\(\ge2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow\text{Sima}\frac{xy}{z}\ge x+y+z=2\) hay \(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}\ge2\)(đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 12 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\)
\(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{16a^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{1}{16a^2}}=\frac{3}{4}(1)\)
\(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{16b^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\frac{1}{16b^2}}=\frac{3}{4}(2)\)
\(\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\geq \frac{15}{16}.2\sqrt{\frac{1}{a^2}.\frac{1}{b^2}}=\frac{15}{8ab}\geq \frac{15}{8.\frac{1}{4}}=\frac{15}{2}(3)\)
Lấy \((1)+(2)+(3)\Rightarrow a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{15}{2}=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
NT
1
Y
25 tháng 7 2020
Bài này ta dùng bđt Cauchy-Schwaz
VT=\(\frac{\left(bc\right)^2}{a^2bc\left(b+c\right)}\)\(+\frac{\left(\text{c}\text{a}\right)^2}{\text{b}^2c\text{a}\left(\text{c}+\text{a}\right)}\)\(+\frac{\left(\text{a}\text{b}\right)^2}{\text{c}^2\text{a}\text{b}\left(\text{a}+b\right)}\)
\(\ge\)\(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{2abc}\)\(=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)\(=\)VP
=> đpcm
Dấu \("="\)xảy ra <=> a=b=c
UK
22 tháng 11 2017
1) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT=\dfrac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{16}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}=\dfrac{16}{1+ab+bc+ca}\ge\dfrac{16}{1+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\dfrac{16}{1+\dfrac{1}{3}}=12\)
Lưu ý: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3
UK
23 tháng 11 2017
Post lại :v
1) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{4}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(VT\ge\dfrac{3}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{\left(2+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(VT\ge3+\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=3+9=12\)(đpcm)
Đảng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
2) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{ab}+\dfrac{\dfrac{1}{3}}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab}\)
\(VT\ge\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right)^2}{a^2+b^2+ab+ab}\)
\(VT\ge\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{\dfrac{16}{3}}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{8}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{24}{3}=8\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng bất đửng thức cô si cho các cặp số dương ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}ab+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{ab\times\dfrac{a}{b}}=2a\\ab+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{ab\times\dfrac{b}{a}}=2b\\\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\times\dfrac{b}{a}}=2\end{matrix}\right.\)
cộng theo vế 3 bđt trên ta được
\(2\left(ab+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge a+b+1\)
Trịnh Thị Giang đề sai hay bài bạn sai
mình không biết ai đúng ai sai nhưng phải có một cái sai