Cho các số dương a , b , c thỏa mãn điều kiện : \(ab+bc+ca=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của : \(\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{1+b^2+c^2}+\dfrac{1}{1+c^2+a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 1 2022
\(a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{2}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
21 tháng 5 2022
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-0-thoa-man-abbcca3-tim-gia-tri-nho-nhat-cua-pdfrac13a1b2dfrac13b1c2dfrac13c1a2.6181078378966
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 1 2021
Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)
Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:
\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)
Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được
14 tháng 3 2022
ko biết mk làm có đúng ko nhma có gì sai thì đừng trách mk nhé
\(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\dfrac{63}{a^2+b^2+c^2}\)
\(6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{a}{ac}\right)+2021\ge\dfrac{54}{ab+bc+ac}+2021\ge\dfrac{54}{a^2+b^2+c^2}+2021\)
<=>\(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{2021}{9}\)
\(p^2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\right)^2\)
áp dụng bđt \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(p^2\le3.\left(\dfrac{1}{3\left(2a^2+b^2\right)}+\dfrac{1}{3\left(2b^2+c^2\right)}+\dfrac{1}{3\left(2c^2+a^2\right)}\right)=\dfrac{1}{2a^2+b^2}+\dfrac{1}{2b^2+c^2}+\dfrac{1}{2c^2+a^2}\)
\(< =>p^2\le\dfrac{9}{2a^2+b^2+2b^2+c^2+2c^2+a^2}\)
<=> \(p^2\le3.\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{2021}{3}< =>p\le\sqrt{\dfrac{2021}{3}}\)
dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{3}{2021}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2022
\(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)+2021\le6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2021\)
\(\Rightarrow2021\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\sqrt{2021.3}=\sqrt{6063}\)
Từ đó:
\(\sqrt{3\left(2a^2+b\right)}=\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a+b\right)^2}=2a+b\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\dfrac{1}{2a+b}=\dfrac{1}{a+a+b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{\sqrt{6063}}{3}\)
\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{6063}}{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{3}{\sqrt{6063}}\)
3 tháng 10 2023
Đặt \(a+b=x,b+c=y,c+a=z\) với \(x,y,z>0\). Ta có:
\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}=2-\dfrac{1}{y+1}-\dfrac{1}{z+1}\) \(=1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}\) \(=\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{y+1}.\dfrac{z}{z+1}}\)
Tương tự, ta có: \(\dfrac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\dfrac{z}{z+1}.\dfrac{x}{x+1}}\) và \(\dfrac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x+1}.\dfrac{y}{y+1}}\)
Nhân theo vế 3 BĐT vừa tìm được, ta có:
\(\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{y+1}.\dfrac{z}{z+1}}.2\sqrt{\dfrac{z}{z+1}.\dfrac{x}{x+1}}.2\sqrt{\dfrac{x}{x+1}.\dfrac{y}{y+1}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge8.\dfrac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{4}\)
Vậy GTLN của \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) là \(\dfrac{1}{8}\), xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\)
Very easy !!
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a^2+b^2+1\right)\left(1+1+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b^2+1}\le\dfrac{c^2+2}{\left(a+b+c\right)^2}\). Tương tự ta cũng có:
\(\dfrac{1}{1+b^2+c^2}\le\dfrac{a^2}{\left(a+b+c\right)^2};\dfrac{1}{1+c^2+a^2}\le\dfrac{b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(T=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{1+b^2+c^2}+\dfrac{1}{1+c^2+a^2}\le\dfrac{6+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Lại có \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge6+a^2+b^2+c^2\) ( do \(ab+bc+ca=3\) )
\(\Rightarrow T\le\dfrac{6+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\le\dfrac{6+a^2+b^2+c^2}{6+a^2+b^2+c^2}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Có được thay số vào tình không? :))