chứng minh nếu p và 8p2+1 là 2 số nguyên tố thì 8p2-1 là số nguyên tố
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 1 2017
Lời giải:
Bài 1)
Nếu \(p^2-1\in\mathbb{P}\Rightarrow (p-1)(p+1)\in\mathbb{P}\)
Khi đó trong hai thừa số $p-1$ hoặc $p+1$ phải có một thừa số có giá trị bằng $1$, số còn lại là số nguyên tố. Vì $p-1<p+1$ nên \(p-1=1\Rightarrow p=2 \in\mathbb{P} \Rightarrow p+1=3\in\mathbb{P}(\text{thỏa mãn})\)
Khi đó \(8p^2+1=33\) là hợp số. Do đó ta có đpcm.
P/s: Hẳn là bạn chép nhầm đề bài khi thêm dữ kiện $p>3$. Với $p>3$ thì $p^2-1$ luôn là hợp số bạn nhé.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 1 2017
Câu 2:
a) Câu này hoàn toàn dựa vào tính chất của số chính phương
Ta biết rằng số chính phương khi chia $3$ có dư là $0$ hoặc $1$. Mà \(p,q\in\mathbb{P}>3\Rightarrow \) $p,q$ không chia hết cho $3$. Do đó:
\(\left\{\begin{matrix} p^2\equiv 1\pmod 3\\ q^2\equiv 1\pmod 3\end{matrix}\right.\Rightarrow p^2-q^2\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow p^2-q^2\vdots3(1)\)
Mặt khác, vì số chính phương lẻ chia cho $8$ luôn có dư là $1$ nên
\(p^2\equiv 1\equiv q^2\pmod 8\Rightarrow p^2-q^2\equiv 0\pmod 8\Leftrightarrow p^2-q^2\vdots 8\)$(2)$
Từ $(1)$, $(2)$ kết hợp với $(3,8)=1$ suy ra \(p^2-q^2\vdots 24\)
b) Vì \(a,a+k\in\mathbb{P}>3\) nên $a,a+k$ phải lẻ. Do đó $k$ phải chẵn \(\Rightarrow k\vdots 2\) $(1)$
Mặt khác, từ điều kiện đề bài suy ra $a$ không chia hết cho $3$. Do đó $a$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$. Nếu $k$ cũng chia $3$ dư $1$ hoặc $2$ ( $k$ không chia hết cho $3$) thì luôn tồn tại một trong hai số $a+k$ hoặc $a+2k$ chia hết cho $3$ - vô lý vì $a+k,a+2k\in\mathbb{P}>3$
Do đó $k\vdots 3$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ kết hợp $(2,3)=1$ suy ra $k\vdots 6$ (đpcm)
QN
0
LK
1
XO
18 tháng 2 2023
Vì p là số nguyên tố , p > 3
nên p = 3k + 1 hoặc p = 3q + 2 (k;q \(\inℕ^∗\) )
Với p = 3k + 1
thì 8p2 + 1 = 8.(3k + 1)2 + 1 = 8.(9k2 + 6k + 1) + 1
= 72k2 + 48k + 9 = 3(24k2 + 16k + 3) \(⋮3\)
=> 8p2 + 1 là hơp số (loại)
Với p = 3q + 2
8p2 + 1 = 8(3q + 2)2 + 1 = 72q2 + 96q + 33 \(⋮3\)
=> p = 3q + 2 (loại)
Vậy không tồn tại p để thỏa mãn điều kiện đề bài
VN
1
3 tháng 3 2023
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chắc chắn p ko chia hết cho 3
=>2p ko chia hết cho 3
mà 2p+1 nguyên tố
nên 2p+2 chia hết cho 3
=>2(2p+2) chia hết cho 3
=>4p+4 chia hết cho 3
=>4p+1 chia hết cho 3
=>4p+1 là hợp số(đpcm)
Lời giải:
Nếu $p$ không chia hết cho $3$ thì $p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$
$\Rightarrow 8p^2+1\equiv 8+1\equiv 0\pmod 3$
Mà $8p^2+1>3$ nên $8p^2+1$ không là snt (trái giả thiết)
Vậy $p=3$. Khi đó $8p^2-1=71$ là số nguyên tố (đpcm)