Question

[Sách Giáo Khoa]

Cho phương trình bậc hai với tham số m :

              \(3x^2-2\left(m+1\right)x+3m-5=0\)

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó ?

Answer 1

[Bùi Thị Vân]

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-3\left(3m-5\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow m^2-7m+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\ge0\forall m\in R\).
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Gọi \(x_1;x_2\) là nghiệm của phương trình, theo giả thiết ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{3}\\x_1=3x_2\\x_1.x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m+1}{6}\\x_1=\dfrac{m+1}{2}\\x_1.x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\) (1)
Từ (1) ta có: \(\dfrac{m+1}{6}.\dfrac{m+1}{2}=\dfrac{3m-5}{3}\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=4\left(3m-5\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-14m+21=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=7-2\sqrt{7}\\m=7+2\sqrt{7}\end{matrix}\right.\)
Với \(m=7-2\sqrt{7}\) ta có:
\(x_1=\dfrac{m+1}{2}=\dfrac{7-2\sqrt{7}+1}{2}=4-\sqrt{7}\)
\(x_2=\dfrac{m+1}{6}=\dfrac{7-2\sqrt{7}+1}{6}=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\)
Với \(m=7+2\sqrt{7}\) ta có:
\(x_1=\dfrac{m+1}{2}=\dfrac{7+2\sqrt{7}+1}{2}=4+\sqrt{7}\)
\(x_2=\dfrac{m+1}{6}=\dfrac{7+2\sqrt{7}+1}{6}=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\)