Cho 2 số dương a,b thỏa mãn: \((a+b)(a+b-1)=a^2+b^2\) . Tính GTLN của biểu thức:
\(Q=\frac{1}{a^4+b^2+2ab^2}+\frac{1}{b^4+a^2+2a^2b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 2 2022
- Theo giả thiết nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được
, (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
- Tương tự , (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi )
- Từ đó
- Giả thiết tương đương với (*)
- Do đó
- Mà nên (do giả thiết ).
- Vì vậy
GTNN là đạt khi và chỉ khi
10 tháng 2 2022
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)
\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)
Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
24 tháng 5 2019
\(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
=> \(2ab=a+b\)
Mà \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
=> \(a+b\ge2\)
Ta có
\(a^4+b^2\ge2a^2b\)
\(b^4+a^2\ge2ab^2\)
Khi đó \(Q\le\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{2ab\left(a+b\right)}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MaxQ=\frac{1}{2}\)khi a=b=1
29 tháng 5 2018
Ta có: \(5a^2+2ab+2b^2=4a^2+2ab+b^2+\left(a^2+b^2\right)\ge4a^2+2ab+b^2+2ab=\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Lại có: \(\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự cộng lại ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 5 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Rightarrow ab=\frac{a+b}{2}\Rightarrow\frac{a+b}{2}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge2\)
\(Q\le\frac{1}{2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2}+\frac{1}{2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b}=\frac{1}{ab\left(a+b\right)}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow Q_{max}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=1\)
G
22 tháng 5 2018
Bạn xem lời giải ở đây nhé:
Câu hỏi của AgustD - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
22 tháng 5 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\Rightarrow2>=\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b>=2\) (bđt cauchy schwarz adangj engel)
\(a^4+b^2>=2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b;a^2+b^4>=2\sqrt{a^2b^4}>=2ab^2;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}\Rightarrow2>=\frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow ab>=1\)(bđt cosi)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^4+b^2+2ab^2}+\frac{1}{a^2+b^4+2a^2b}< =\frac{1}{2a^2b+2ab^2}+\frac{1}{2ab^2+2a^2b}=\frac{2}{2a^2b+2ab^2}=\frac{2}{2ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b\right)}< =\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}\)
dấu = xảy ra khi a=b=1
6 tháng 7 2020
Đề thi tuyển sinh chuyên Khoa học tự nhiên-Đại Học quốc gia Hà Nội năm học 2017-2018
ta có: \(ab+bc+ca+abc=2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=\left(1+a\right)+\left(1+b\right)+\left(1+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}=1\)
đặt \(x=\frac{1}{1+a};y=\frac{1}{1+b};z=\frac{1}{1+c}\Rightarrow xy+yz+xz=1\)
ta có \(P=\frac{a+1}{\left(a+1\right)^2+1}+\frac{b+1}{\left(b+1\right)^2+1}+\frac{c+1}{\left(c+1\right)^2+1}\)
\(=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^2}+1}=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)
\(=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}=\frac{2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
mà \(9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+z+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\ge6xyz\)(đúng vì theo BĐT Cosi)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\le\frac{9}{4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
(vì \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=3\))
Vậy \(P_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}-1\)
TG
24 tháng 12 2021
Khúc đầu là: \(\dfrac{1}{a^4+b^2+2b^2}\) hay \(\dfrac{1}{a^4+b^2+2ab^2}\) ??
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^2+2ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2\)
\(b^4+a^2+2a^2b\ge2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\)
Lại có: \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab\ge1\\a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(Q\le\dfrac{1}{2a^2b+2ab^2}+\dfrac{1}{2ab^2+2a^2b}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)