Question

[Sách Giáo Khoa]

Chứng minh rằng :

                 \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2,\forall\ge0,\forall y\ge0\)

Answer 1

[Lightning Farron]

\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\left(1\right)\)

*) Xét \(x=y=0\) thì \(\left(1\right)\) luôn đúng

*) Xét \(x,y>0\) ta có: \(VT=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)

\(\Rightarrow VT=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)

Lại có: \(VP=x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra BĐT được chứng minh

Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\)

Answer 2

[Nguyễn Tấn Dũng]

x³+y³\(\geq\) x²y + xy², \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0

Xét x=0,y=0 thì bất đẳng thức này luôn đúng.(*)

Xét x>0,y>0,ta có CM bất đẳng thức đó luôn đúng

x³+y³\(\geq\) x²y+xy²

\(\Leftrightarrow\) x³+y³-x²y-xy²\(\geq\)0

\(\Leftrightarrow\) (x³-x²y) + (y³-xy²) \(\geq\)0

\(\Leftrightarrow\) x²(x-y) - y²(x-y) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x²-y²) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x-y)(x+y) \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (x-y)²(x+y) \(\geq\) 0 (1)

Ta có (x-y)²\(\geq\)0, x+y >0(vì x>0,y>0)

Nên bất phương trình (1); (x-y)²(x+y) \(\geq\) 0(luôn đúng)(**)

Từ(*) và (**) suy ra BĐT được chứng minh:

x³+y³\(\geq\) x²y+xy², \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y.