chứng minh \(1< \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{3n+1}< 2\)
với mọi n là số nguyên dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 11 2017
Em chưa học làm dạng này , em làm thử thôi nhá, sai xin chỉ dạy thêm nha
2 . \(\dfrac{n^7+n^2+1}{n^8+n+1}=\dfrac{n^7-n+n^2+n+1}{n^8-n^2+n^2+n+1}\)
\(=\dfrac{n\left(n^6-1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^6-1\right)+n^2+n+1}=\dfrac{n\left(n^3+1\right)\left(n^3-1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^3+1\right)\left(n^3-1\right)+n^2+n+1}\)\(=\dfrac{n\left(n^3+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1}{n^2\left(n^3+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1}\)
\(=\dfrac{\left(n^2+n+1\right)\left[\left(n^4+n\right)\left(n-1\right)\right]}{\left(n^2+n+1\right)\left[\left(n^5+n^2\right)\left(n-1\right)+1\right]}\)
\(=\dfrac{n^5-n^4+n^2-n}{n^6-n^5+n^3-n^2+1}=\dfrac{n^4\left(n-1\right)+n\left(n-1\right)}{n^5\left(n-1\right)+n^2\left(n-1\right)+1}\)
\(=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n^4+n\right)}{\left(n-1\right)\left(n^5+n^2\right)+1}\)
Vậy ,với mọi số nguyên dương n thì phân thức trên sẽ không tối giản
NQ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 12 2021
\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)
Mặt khác:
\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)
\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)
Do đó:
\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)
IL
2 tháng 7 2018
\(\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+\dfrac{1}{8.11}+...+\dfrac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{2.5}+\dfrac{3}{5.8}+\dfrac{3}{8.11}+...+\dfrac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3n+2}{6n+4}-\dfrac{2}{6n+4}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3n}{6n+4}\)
\(=\dfrac{n}{6n+4}\) ( đpcm )
Vậy...
NA
Nguyễn An Ninh
VIP
22 tháng 4 2023
a: Gọi d=ƯCLN(15n+1;30n+1)
=>30n+2-30n-1 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=>Đây là phân số tối giản
b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)
=>15n+10-15n-9 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=>d=1
=>Phân số tối giản
24 tháng 4 2023
Giải thích các bước giải:
Đặt A= 1/4+1/16+1/36+1/64+1/100+1/144+1/196
= 1/2^2+ 1/4^2+ 1/6^2+….+ 1/16^2
= 1/2^2.( 1+ 1/2^2+ 1/3^2+…+ 1/8^2)
Ta có 1+ 1/2^2+ 1/3^2+…+ 1/8^2< 1+ 1/1.2+ 1/2.3+….7.8= 1+ 1-1/2+ 1/2- 1/3+….+ 1/7- 1/8
= 2- 1/8< 2
Nên ( 1+ 1/2^2+ 1/3^2+…+ 1/8^2)< 2
=> A< 1/2^2 nhân 2= 1/2
Vậy A< 1/2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2018
Lời giải:
Với 2 số $a,b$ dương, ta luôn có BĐT quen thuộc sau:
\(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
Cách chứng minh rất đơn giản, biến đổi tương đương ta có:
\(a^3+b^3-ab(a+b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2(a-b)-b^2(a-b)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b>0$)
---------------------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\((n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}=(\sqrt{n})^3+(\sqrt{n+1})^3\geq \sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
......
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Ta có đpcm.