1.Chứng minh :
a) |x| \(\ge\) x
b) |x| \(\ge\) -x
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
1
13 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
`x+9/x>=6`
`=>x+1/x`
`=x+9/x-8/x>=6-8/x`
Vì `x>=3=>8/x<=8/3`
`=>6-8/x>=6-8/3=10/3`
Dấu "=" `<=>x=3`
TC
Chứng minh rằng nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.
6
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
9 tháng 2 2022
ta có :
\(\frac{ax+by}{2}\ge\frac{a+b}{2}.\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge\left(a+b\right)\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge ax+ay+bx+by\)
\(\Leftrightarrow ax-ay+by-bx\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)\ge0\)
Điều này đúng do giả thuyết \(a\ge b,x\ge y\)
25 tháng 7 2022
Ta có \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by≥ 2a+b. 2x+ y
\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge (a + b)(x + y)⇔2(ax+by) ≥ (a+b)(x+y)
\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge ax + ay + bx + by⇔2(ax+by) ≥ax+ay+bx+by
\Leftrightarrow ax + by - ay - bx \ge 0⇔ax+by−ay−bx ≥0
\Leftrightarrow (a - b)(x - y) \ge 0⇔(a−b)(x−y)≥0 (luôn đúng vì giả thiết a \ge ba≥b và x \ge yx≥y).
Vậy nếu a \ge ba≥b, x \ge yx≥y thì \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by≥ 2a+b. 2x+ y.
N
1
5 tháng 2 2022
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)
\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)
BN
8 tháng 8 2017
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
T
8 tháng 8 2017
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
UK
19 tháng 8 2017
b) \(x,y\ge1\Rightarrow xy\ge1\)
BĐT đã cho tương đương với:
\(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow+\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x=y hoặc xy=1
18 tháng 6 2021
`x+y+z>=0` là chưa đủ phải là `x,y,z>=0` mới đúng.
`x+y+z>=sqrt{xy}+sqrt{yz}+sqrt{zx}`
`<=>2x+2y+2z>=2sqrt{xy}+2sqrt{yz}+2sqrt{zx}`
`<=>x-2sqrt{xy}+y+y-2sqrt{yz}+z+z-2sqrt{zx}+x>=0`
`<=>(sqrtx-sqrty)^2+(sqrty-sqrtz)^2+(sqrtz-sqrtx)^2>=0` luôn đúng
Dấu `"="<=>x=y=z`
18 tháng 6 2021
Áp dụng bdt Co-si, ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{xz}\)
=> 2(x+y+z) \(\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
=> đpcm
1 tháng 8 2017
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
haiz.lần đầu thấy đề kiểu này đấy