Question

[Yuri Ooh]

tìm x thuộc N sao cho 65+ x^2 là số chính phương

Answer 1

[Golden Darkness]

Đặt 2^x + 65 = t^2 (t thuộc N*, t > 0)
\(\Rightarrow\) 2^x + 64 = t^2 -1
TH1. x < 6=> 2^x( 1+ 2^(6-x)) = (t-1)(t+1)
Nếu x = 0 \(\Rightarrow\) không thỏa mãn \(\Rightarrow\) x >0
\(\Rightarrow\) (t-1)(t+1) chia hết cho 2^x; (t-1;t+1) = 2
TH t-1 chia hết cho 2^(x -1); t+1 chia hết cho 2.
Đặt t-1 = a.2^(x-1) => t+1 = a.2^(x-1) +2
\(\Rightarrow\) (t-1)(t+1) = a.2^(2x-2) + 2.a.2^(x-1) = 2^x.a( a.2^(x-2) +1)
Do (t-1)(t+1) = 2^x( 1+ 2^(6-x))=> 2^x( 1+ 2^(6-x)) = 2^x.a( a.2^(x-2) +1)
Do đó a =1; x-2 = 6-x nên a=1 và x = 4.
Thử lại: 2^4 + 65 =81 = 9^2 (TM)
TH t +1 chia hết cho 2^(x-1); t-1 chia hết cho 2.
Tương tự trên suy ra: 2^x( 1+ 2^(6-x)) = 2^x.a( a.2^(x-2) -1)
Dẫn dến a =1 và 6-x =2; x -2 = 1 \(\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa.
TH2. x =6 => 2^6 + 65 = 129 không là số chính phương, loại
TH3. x>6
\(\Rightarrow\) 2^6(2^(x-6) +1) = (t-1)(t+1)
TH1. t-1 chia hết cho 2^5; t+1 chia hết cho 2
Đặt t-1 = a.2^5; t+1 = a.2^5 +2
2^6( 1+ 2^(x-6)) = a.2^5(a.2^5 +2) = a.2^6(a.2^4 +1)
\(\Rightarrow\) a=1; x-6 = 4 => a=1; x=10
Thử lại: 2^10 +65 = 1089 = 33^2.
Vậy ta tìm được 2 số x thỏa mãn là 4 và 10.

Answer 2

[Ngô Tấn Đạt]

Để mình giải lại cho nhé !!!

Đặt :

\(65+x^2=t^2\\ \Rightarrow t^2-x^2=65\\ \Rightarrow\left(t-x\right)\left(t+x\right)=65=5.13=1.65\)

Vì x thuộc N nên t-x<t+x

TH1: t-x=5 ; t+x=13

=> 2t=18

=> t= 9

=> x=4

TH2 :

t-x=1 ; t+x=65

=> 2t=33 ( loại )

Vậy x=4 thỏa mãn

Chúc bạn học tốt !!!!