K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 2 2017

\(1< A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)

(*) C/m A>2

Trước hết ta có với x>y>0 và m>0

luôn có \(\frac{y}{x}< \frac{y+p}{x+p}\) (1)

c/m: \(\Leftrightarrow xy+ym< xy+xm\Leftrightarrow m\left(x-y\right)>0\) luôn đúng => (1) được c/m.

áp (1) vào từng số hạng của A ta có

\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}\\ \)

\(\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)=>(*) dpc/m

(**)C/m A>1: ta có với x>0 và m>0=> \(x>\frac{x}{x+m}\\ \) (2)

Áp (2) vào tầng số hạng của A ta có

\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}\\ \)

\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) => (**)dpcm

Từ (*) và (**) =>\(1< A< 2\)=> dpcm

11 tháng 2 2017

dấu (*) đánh lộn nhé c/m A<2

24 tháng 11 2019

Bài 1:

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.

Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!

24 tháng 11 2019

Bài 2a làm bên h rồi nên chụp lại thôi!

 (cần thì ib t gửi link cho)

18 tháng 4 2018

Ta có : 

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{b+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{c+d+a}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên ) 

\(\Rightarrow\)\(M>1\) \(\left(1\right)\)

Lại có : ( phần này áp dụng công thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m\inℕ^∗\right)\) ) 

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{b+c+d}< \frac{c+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{c+d+a}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+a}< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\) ( cộng theo vế 4 đẳng thức trên ) 

\(\Rightarrow\)\(M< 2\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm : \(1< M< 2\)

Vậy \(1< M< 2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Câu 1: Cho \(a,b,c0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\).Câu 2: Cho \(a,b,c,d0\)và \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng:\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\).Câu 3: Cho \(a,b,c,d0\). Chứng minh rằng:\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\).Câu 4: Cho \(a,b,c,d0\). Chứng minh...
Đọc tiếp

Câu 1Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\).

Câu 2: Cho \(a,b,c,d>0\)và \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\).

Câu 3: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\).

Câu 4: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge\frac{a+b+c+d}{3}\).

Câu 5: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\ge1\).

Câu 6: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: 

\(\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\ge1\).

Câu 7: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).

Câu 8: Cho \(a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n>0\)và \(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n=n\)với \(n\)nguyên dương. Chứng minh:

\(\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1}+...+\frac{1}{a_{n-1}+1}+\frac{1}{a_n+1}\ge\frac{n}{2}\).

 

 

0
8 tháng 8 2019

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)(1)

\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\)(2)

và \(\frac{a-c}{b-d}=\frac{bk-dk}{b-d}=\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\left(đpcm\right)\)

8 tháng 8 2019

Ta có \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\)

\(\Rightarrow\left(a+c\right).\left(b-d\right)=\left(b+d\right).\left(a-c\right)\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc\right)-\left(ad+cd\right)=\left(ab+ad\right)-\left(bc+dc\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc-ad-cd=ab+ad-bc-dc\)

\(\Rightarrow bc-ad=ad-bc\)

\(\Rightarrow bc+bc=ad+ad\)

\(\Rightarrow2bc=2ad\)

\(\Rightarrow bc=ad\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)(theo đề bài cho)

Vậy bài toán dc c/m

21 tháng 6 2017

a) phải là a.d<b.c

 chứ ko phải a,d<b,c đâu

Có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{ac}{bd}\)

Mà \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

Nên \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(đpcm\right)\)

23 tháng 2 2020

1. a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

=> \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Khi đó \(\frac{a}{3a+b}=\frac{bk}{3bk+b}=\frac{bk}{b\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1}\left(1\right)\)

\(\frac{c}{3c+d}=\frac{dk}{3dk+d}=\frac{dk}{d\left(3k+1\right)}=\frac{k}{3k+1}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)

c, 

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

=> \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Khi đó \(\frac{ab}{cd}=\frac{b^2k}{d^2k}=\frac{b^2}{d^2}\)  (3)

\(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\frac{b^2k^2-b^2}{d^2k^2-d^2}=\frac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\frac{ab}{cd}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)

@@ Học tốt

Chiyuki Fujito

24 tháng 3 2020

Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\)

\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\)

\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{b+d+a}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\)

Cộng vế với vế (3);(4);(5);(6) ta có:

\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(đpcm\right)\)

TL
24 tháng 3 2020

Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b

A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d

A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:

A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d

A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d

A < 2

Từ (1) và (2) => đpcm

nguồn:soyeon_Tiểubàng giải

26 tháng 6 2020

Cảm ơn bạn rất nhiều!!