cho 2007 số nguyên khác nhau \(a_1,a_2,a_3,...,a_{2007}\). Mỗi số \(b_1,b_2,...,b_{2007}\) là một số trong số các số\(a_1,a_2,...,a_{2007}\) ( \(b_i\ne b_j\) nếu i \(\ne\) j và \(a_i\ne b_i\)). Chứng minh: Trong các số hiệu sau: \(\left(a_1-b_1\right),\left(a_2-b_2\right),...,\left(a_{2007}-b_{2007}\right)\) có ít nhất một số âm và ít nhất một số dương.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
nếu đã cho lai-bil=6 thì la1-b1l+...+la999-b999l có tận cùng là 4 chứ
Hướng giải như này: Giả sử có k cặp ai bi có giá trị tuyệt đối của hiệu bằng 6. Khi đó tổng đã cho bằng 6k+999-k=5k+999
Mình đang cần chứng minh k chẵn.
Ta có
\(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{2008}}{a_1}=\frac{a_1+...+a_{12}+...+a_{2008}}{a_2+a_3+...+a_1}=1\)
Từ đó a1 = a2 = a3 = ... = a2008
\(\Rightarrow N=\frac{a^2_1+a^2_2+...+a_{2008}^2}{\left(a_1+a_2+...+a_{2008}\right)^2}=\frac{2008a^2_1}{\left(2008a_1\right)^2}=\frac{1}{2008}\)
Lời giải:
Đặt \(t=\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}.....=\frac{a_{2008}}{a_1}\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(t=\frac{a_1+a_2+....+a_{2008}}{a_2+2_3+...+a_{2008}+a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2008}}{a_1+a_2+...+a_{2008}}=1\)
Do đó:
\(\left\{\begin{matrix} a_1=a_2\\ a_2=a_3\\ .....\\ a_{2007}=a_{2008}\\ a_{2008}=a_1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a_1=a_2=....=a_{2007}=a_{2008}=k\)
Khi đó:
\(N=\frac{a_1^2+a_2^2+...+a^2_{2007}+a^2_{2008}}{(a_1+a_2+...+a_{2008})^2}=\frac{\underbrace{k^2+k^2+....+k^2}_{2008}}{\underbrace{(k+k+....+k)^2}_{2008}}\)
\(\Leftrightarrow N=\frac{2008k^2}{(2008k)^2}=\frac{1}{2008}\)
Vậy \(N=\frac{1}{2008}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2007}}{a_{2008}}=\frac{a_{2008}}{a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2007}+a_{2008}}{a_2+a_3+...+a_{2008}+a_1}=1\)
Do đó : \(a_1=a_2=...=a_{2007}=a_{2008}\)
\(\Rightarrow\)\(N=\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_{2008}^2}{\left(a_1+a_2+...+a_{2008}\right)^2}=\frac{a_1^2+a_1^2+...+a_1^2}{\left(a_1+a_1+...+a_1\right)^2}=\frac{2018a_1^2}{2018^2a_1^2}=\frac{1}{2018}\)
Vậy \(N=\frac{1}{2018}\)
Chúc bạn học tốt ~
Ta có `: 0 < a_1 < a_2 < a3<....<a15`
`->` \(\begin{cases} a_1+ a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 5a_5\\a_6+ a_7 + a_8 + a_9 + a_10 < 5a_{10}\\ a_{11}+ a_{12} + a_{13}+ a_{14} + a_{15} < 5a_{15}\end{cases} \)
`-> a_1 + a_2 + ..... + a_{15} < 5( a_5 + a_{10} + a_{15} )`
`-> ( a_1 + a_2 + ..... + a_{15} )/( a_5 + a_{10}+a_15 ) <5` (đpcm)
TK: Câu hỏi của Lãnh Hạ Thiên Băng - Toán lớp 6 - Học trực tuyến OLM
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2012}}{a_1}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2012}}{a_1+a_2+a_3+...+a_{2012}}=1\)(Vì \(a_1+a_2+a_3+...+a_{2012}\ne0\))
Khi đó \(a_1=a_2=a_3=...=a_{2012}\)
=> \(M=\frac{a_1^{2012}+a_2^{2012}+...+a_{2012}^{2012}}{\left(a_1+a_2+...+a_{2012}\right)^{2012}}=\frac{2012.a_1^{2012}}{\left(2012.a_1\right)^{2012}}=\frac{1}{2012^{2011}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2012}}{a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2012}}{a_2+a_3+...+a_1}=1\)
\(\Rightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2012}\)
Khi đó M = \(\frac{2012.a_1^{2012}}{\left(2012.a_1\right)^{2012}}=\frac{2012.a_1^{2012}}{2012^{2012}.a_1^{2012}}=\frac{2012}{2012^{2012}}=\frac{1}{2012^{2011}}\)