CMR:a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LN
0
15 tháng 4 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}A=\left(a^4+b^4\right)\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4ab}{2}\right]^2}{2}\\B=\left(c^4+d^4\right)\ge\left(c^2+d^2\right)^2\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(c+d\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4cd}{2}\right]^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2}{2}\\B\ge\dfrac{\left(2cd\right)^2}{2}\end{matrix}\right.\)(1)
\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge0\\B\ge0\end{matrix}\right.\)(2)
(1) và (2) \(\Rightarrow A+B\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2+\left(2cd\right)^2}{2}\ge\dfrac{2\left(4abcd\right)}{2}=4abcd\)
đẳng thức khi a=b=c=d
15 tháng 4 2017
Ta có BĐT \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\)
Vậy ta có: \(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\)
\(c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\)
Lại có: \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2\sqrt{\left(ab\right)^2\left(cd\right)^2}=2abcd\)
\(\Rightarrow2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2\cdot2abcd=4abcd\)
\(\Rightarrow VT=a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^4=b^4\\c^4=d^4\\\left(ab\right)^2=\left(cd\right)^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\\ab=cd\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)
LQ
2
2 tháng 7 2021
`a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd`
`<=>a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2`
`<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)>=0`
`<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0`
Vì `VT>=0AA a,b,c,d`
Dấu "=" xảy ra khi `a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd`
`<=>a=b=c=d`
2 tháng 7 2021
áp dụng BDT AM-GM
\(=>a^4+b^4\ge2\sqrt{\left(ab\right)^4}=2a^2b^2\left(1\right)\)
\(=>c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\left(2\right)\)
(1)(2)\(=>a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)
dấu"=" xảy ra\(< =>\left\{{}\begin{matrix}a^4=b^4\\c^4=d^4\end{matrix}\right.< =>a=b=c=d}\)
HN
1
13 tháng 5 2022
Ta có:\(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0;\forall a;b;c;d\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) ( đfcm )
20 tháng 4 2018
1 dòng thôi bạn
Tuy đề bài k cho \(a;b;c;d\) dương nhưng \(a^4;b^4;c^4;d^4\) chắc chắn dương
Cô-Si: \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)
20 tháng 4 2018
áp dụng BĐT cô si cho 4 số ko âm
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}\)
<=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) (đpcm)
5 tháng 4 2021
a) Ta có: \(x^{10}+x^5+1\)
\(=x^{10}-x+x^5-x^2+x^2+x+1\)
\(=x\left(x^9-1\right)+x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=x\left(x^3-1\right)+x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^3-1\right)\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=\left(x^2+x+1\right)\left(1+x^2+x^3-x-x^2\right)\)
\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x+1\right)\)
P
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 10 2020
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)
Dấu "=" xảy ra nên: \(a=b=c=d\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=16\)
ta có:a^4+b^4>=2(ab)^2
c^4+b^4>=2(cd)^2
cộng hai vế lai ta có:
a^4+b^4+c^4+d^4>=2[(ab)^2+(cd)^2]
>=4abcd
Để a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd thì :
+) a^4+b^4=2(ab)^2
<->(a^2-b^2)^2=0-->a^2=b^2-->a=b(1)
+)c^4+b^4=2(cd)^2
<->(c^2-d^2)^2=0-->c^2-d^2=0-->c=d(2)
+)a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
<->a^4+c^4=2*(ac)^2
<->(a^2-c^2)^2=0-->a^2=c^2-->a=c(3)
từ (1)(2)(3)-->a=b=c=d(ĐPCM)
giải lằng nhằng quá