\(\int\frac{1dx}{\sin^2\cos^{2^{ }}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
23 tháng 1 2016
Thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi :
\(a_1\sin x+b_1\cos x=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)}{\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)^2}dx=A\int\frac{dx}{a_2\cos x+b_2\sin x}+B\int\frac{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)dx}{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)^2}\)
\(=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}-B\int\frac{1}{a_2\sin x+b_2\cos x}dx=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\ln\left|\tan\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\right|-\frac{B}{a_2\cos x+b_2\sin x}+C\)
Trong đó : \(\sin\alpha=\frac{b_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}_{ }};\cos\alpha=\frac{a_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2016
a)\(\int \sin ^2\left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1-\cos x }{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+c\)
b)\(\int \cos ^2 \left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+c\)
c) \(\int \frac{(2x+1)dx}{x^2+x+5}=\int \frac{d(x^2+x+5)}{x^2+x+5}=ln(x^2+x+5)+c\)
d)\(\int (2\tan x+ \cot x)^2dx=4\int \tan ^2 x+\int \cot^2 x+4\int dx=4\int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}dx+\int \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx+4\int dx \)\( =4\int d(\tan x)-\int d(\cot x)-\int dx=4\tan x-\cot x-x+c\)
23 tháng 1 2016
Biến đổi :
\(4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :
\(\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}\)
Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\)
Do đó,
\(F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C\)
NH
1
11 tháng 4 2016
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{\cos2x+3\cos x+2}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{2\cos^2x+3\cos x+1}dx\)
Đặt \(\cos x=t\Rightarrow dt=-\sin dx\)
Với \(x=0\Rightarrow t=1\)
Với \(x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=0\)
\(I=\int\limits^1_0\frac{dt}{2t^2+3t+1}=\int\limits^1_0\frac{dt}{\left(2t+1\right)\left(t+1\right)}=2\int\limits^1_0\left(\frac{1}{2t+1}+\frac{1}{2t+1}\right)dt\)
\(=\left(\ln\frac{2t+1}{2t+1}\right)|^1_0=\ln\frac{3}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 2 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=\int \frac{x\sin x+\cos x}{x^2-\cos ^2x}dx=\int \frac{(\cos x-x)+x(\sin x+1)}{x^2-\cos ^2x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{\cos x+x}+\int \frac{x(\sin x+1)}{x^2-\cos ^2x}dx=-\int \frac{dx}{x+\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\left(\frac{1}{x-\cos x}+\frac{1}{x+\cos x}\right)dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\frac{dx}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x-1)\frac{dx}{x+\cos x}+\int \frac{dx}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\int (\sin x+1)\frac{dx}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int (\sin x-1)\frac{dx}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\cos x)}{x-\cos x}+\frac{1}{2}\int \frac{-d(x+\cos x)}{x+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2}\ln |x-\cos x|-\frac{1}{2}\ln |x+\cos x|+c\)
Xét biểu thức $B$
\(B=\int \frac{\ln x-1}{x^2-\ln ^2x}dx=\int \frac{(\ln x-x)+(x-1)}{x^2-\ln ^2x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\int \frac{x-1}{x^2-\ln ^2x}dx=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{(x-1)}{x}\left(\frac{1}{x-\ln x}+\frac{1}{x+\ln x}\right)dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{x-1}{x}dx\)
\(=-\int \frac{dx}{x+\ln x}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{1+x}{x}dx+\int \frac{dx}{x+\ln x}\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-\ln x}.\frac{x-1}{x}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+\ln x}.\frac{1+x}{x}dx\)
\(=\frac{1}{2}\int \frac{d(x-\ln x)}{x-\ln x}-\frac{1}{2}\int \frac{d(x+\ln x)}{x+\ln x}\)
\(=\frac{1}{2}\ln |x-\ln x|-\frac{1}{2}\ln |x+\ln x|+c\)
25 tháng 12 2016
1) Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\forall t\ge1\Rightarrow dx=d\left(t-1\right)^2=2dt\)
\(\Rightarrow I_1=\int\frac{\left(t-1\right)^2+1}{t}\cdot2dt=2\int\frac{t^2-2t+2}{t}dt=2\int\left(t-2+\frac{2}{t}\right)dt\\ =t^2-4t+4lnt+C\)
Thay x vào ta có...
25 tháng 12 2016
2) \(I_2=\int\frac{2sinx\cdot cosx}{cos^3x-\left(1-cos^2x\right)-1}dx=\int\frac{-2cosx\cdot d\left(cosx\right)}{cos^3x+cos^2x-2}=\int\frac{-2t\cdot dt}{t^3+t-2}\)
\(I_2=\int\frac{-2t}{\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)}dt=-\frac{2}{5}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{5}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt-\frac{6}{5}\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}\)
Ta có:
\(\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt=\int\frac{d\left(t^2+2t+2\right)}{t^2+2t+2}=ln\left(t^2+2t+2\right)+C\)
\(\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}=\int\frac{\frac{1}{cos^2m}}{tan^2m+1}dm=\int dm=m+C=arctan\left(t+1\right)+C\)
Thay x vào, ta có....
ML
2
HT
23 tháng 1 2016
Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^2}\)
Khi đó : \(I=\int\frac{4\frac{dt}{1+t^2}}{\frac{4}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}=\int\frac{2dt}{1+2t^2}=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+2}\right)dt=\ln\left|\frac{1}{t+2}\right|+C=\ln\left|\frac{\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}+2}\right|+C\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2017
1)
Ta có \(P_1=\int \frac{\cos xdx}{2\sin x-7}=\int \frac{d(\sin x)}{3\sin x-7}\)
Đặt \(\sin x=t\Rightarrow P_1=\int \frac{dt}{3t-7}=\frac{1}{3}\int \frac{d(3t-7)}{3t-7}=\frac{1}{3}\ln |3t-7|+c\)
\(=\frac{1}{3}\ln |3\sin x-7|+c\)
2)
\(P_2=\int \sin xe^{2\cos x+3}dx\)
Đặt \(\cos x=t\)
\(P_2=-\int e^{2\cos x+3}d(\cos x)=-\int e^{2t+3}dt\)
\(=-\frac{1}{2}\int e^{2t+3}d(2t+3)=\frac{-1}{2}e^{2t+3}+c\)
\(=\frac{-e^{2\cos x+3}}{2}+c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 12 2017
3)
\(P_3=\int \frac{\sin x+x\cos x}{(x\sin x)^2}dx\)
Để ý rằng \((x\sin x)'=x'\sin x+x(\sin x)'=\sin x+x\cos x\)
Do đó: \(d(x\sin x)=(x\sin x)'dx=(\sin x+x\cos x)dx\)
Suy ra \(P_3=\int \frac{d(x\sin x)}{(x\sin x)^2}\)
Đặt \(x\sin x=t\Rightarrow P_3=\int \frac{dt}{t^2}=\frac{-1}{t}+c=\frac{-1}{x\sin x}+c\)
Giải như sau:
Do \(\cos^2x+\sin^2x=1,\left(\tan x\right)'=\frac{1}{\cos^2x},\left(\cot x\right)'=-\frac{1}{\sin^2x}\) nên ta có
\(\int\frac{dx}{\cos^2x.sin^2x}=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}\right)dx=\int d\left(\tan x\right)-\int d\left(\cot x\right)=\tan x-\cot x+c\)
cảm ơn bạn nhé :))