CMR \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)
giúp mình với mk cần gấp lắm
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2018
Lời giải:
Từ \(a+b+c+ab+bc+ac=0\)
\(\Rightarrow a+b+c+ab+bc+ac+abc+1=1\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=1\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+1=x\\ b+1=y\\ c+1=z\end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1\)
Biểu thức trở thành:
\(A=\frac{1}{(a+2)+a+b+ab+1}+\frac{1}{(b+2)+b+c+bc+1}+\frac{1}{(c+2)+c+a+ac+1}\)
\(A=\frac{1}{(a+2)+(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+2)+(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+2)+(c+1)(a+1)}\)
\(A=\frac{1}{x+1+xy}+\frac{1}{y+1+yz}+\frac{1}{z+1+zx}\)
\(A=\frac{z}{xz+z+xyz}+\frac{zx}{yxz+xz+yz.xz}+\frac{1}{z+1+xz}\)
hay \(A=\frac{z}{xz+z+1}+\frac{xz}{1+xz+z}+\frac{1}{z+1+xz}\) (thay \(xyz=1\))
\(\Leftrightarrow A=\frac{z+xz+1}{xz+z+1}=1\)
Vậy \(A=1\)
27 tháng 3 2016
bc+1/c = ca+1/c => bc + 1 = ca + 1 <=> bc = ca <=> b = a
minh chi lam đc 1 cai thoi
T
21 tháng 1 2020
Ta có đẳng thức quen thuộc: \(\frac{xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=1\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)}{z}+\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(z+x\right)}{y}+2=\frac{\left(x+y\right)}{z}.\frac{\left(y+z\right)}{x}.\frac{\left(z+x\right)}{y}\)
Đặt \(\frac{x+y}{z}=a;\frac{y+z}{x}=b;\frac{z+x}{y}=c\) thì ta thu được giả thiết.
Vậy tồn tại các số x, y, z > 0 sao cho \(a=\frac{x+y}{z};b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT\le\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)=\frac{3}{2}\)
P/s: Em không chắc về cách trình bày ở chỗ phần đặt..., nhưng cách đặt trên luôn tồn tại đó!
T
21 tháng 1 2020
Cách khác tự nhiên hơn!
\(a+b+c+2=abc\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a+1};\frac{1}{b+1};\frac{1}{c+1}\right)=\left(z;x;y\right)\text{ thì }x+y+z=1\Rightarrow a=\frac{1-z}{z}=\frac{x+y}{z}\)
Tương tự: \(b=\frac{y+z}{x};c=\frac{z+x}{y}\). Rồi giải như bài ban nãy.
TN
25 tháng 12 2016
Từ \(abc=1\Rightarrow a=\frac{1}{bc}\) thay vào ta có:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{\frac{1}{bc}}{\frac{1}{bc}\cdot b+\frac{1}{bc}+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{\frac{1}{bc}\cdot c+c+1}\)
\(=\frac{1}{bc\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}+1\right)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{\frac{1}{b}+c+1}\)
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{b\left(\frac{1}{b}+c+1\right)}\)
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}\)
\(=\frac{1+b+bc}{bc+b+1}=1\)
25 tháng 12 2016
a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1)
=abc/(ab+a+1)bc+b/(bc+b+1)+bc/(ac+c+1)b
=1/(abcb+abc+bc)+b/(bc+b+1)+bc/(abc+bc+b)
=1/(bc+b+1)+b/(bc+b+1)+bc/(bc+b+1)
=(bc+b+1)/(bc+b+1)=1
12 tháng 2 2019
Ta có: \(ab+bc+ac=abc+a+b+c\)
\(\Leftrightarrow ab-abc+bc-b+ac-a-c=0\)
\(\Leftrightarrow ab-abc+bc-b+ac-a+1-c=1\)
\(\Leftrightarrow ab\left(1-c\right)+b\left(c-1\right)+a\left(c-1\right)+\left(1-c\right)=1\)
\(\Leftrightarrow ab\left(1-c\right)-b\left(1-c\right)-a\left(1-c\right)+\left(1-c\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(1-c\right)\left(ab-b-a+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=1\)
Ta có thể đặt x=1-a ; y=1-b; z=1-c => xyz=1
Nhưng trong đẳng thức cần chứng minh theo x;y;z
=> Thế: a=1-x; b=1-y; c=1-z vào được:
\(\frac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}=\frac{1}{3+\left(1-x\right)\left(1-y\right)-2\left(1-x\right)-\left(1-y\right)}=\frac{1}{1+x+xy}\)
Tương tự: \(\frac{1}{3+bc-\left(2b+c\right)}=\frac{1}{3+\left(1-y\right)\left(1-z\right)-2\left(1-y\right)-\left(1-z\right)}=\frac{1}{1+y+yz}\)
\(\frac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=\frac{1}{3+\left(1-x\right)\left(1-z\right)-2\left(1-z\right)-\left(1-x\right)}=\frac{1}{1+z+zx}\)
Theo giả thiết xuz=1
=> \(VT=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}\)
\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+xyz}+\frac{xy}{xy+xyz+x^2yz}\)
\(=\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+1}+\frac{xy}{xy+1+x}\)
\(=\frac{1+x+xy}{1+x+xy}=1=VP\)
Đề đúng:Biết \(abc=1\) . \(CMR:\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\)
Có: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{abc^2}{ca+abc^2+abc}\)
\(=\frac{1}{b+1+bc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{1+bc+b}\)
\(=\frac{bc+b+1}{bc+b+1}=1\)
=>đpcm
ưm mơn bn nha