Question

[Cathy Trang]

Cho a,b,c,d > 0 . Chứng minh rằng:

1 < a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b < 2

Answer 1

[nguyễn Thị Bích Ngọc]

Nghỉ lâu, giờ vào bài :v

Ta có : a,b,c,d >0

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{b}{b+c+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{c}{c+d+a}>\dfrac{c}{c+d+a+b}\)

\(\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{d}{d+a+b+c}\)

Cộng cả 4 vế , ta được :

\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>1\left(1\right)\)

Ta lại có : \(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+c}\)

\(\dfrac{b}{b+c+d}< \dfrac{b}{b+d}\)

\(\dfrac{c}{c+d+a}< \dfrac{c}{c+a}\)

\(\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{d}{d+b}\)

Cộng 4 vế , ta được :

\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{d}{b+d}=\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{d}{b+d}\right)=\left(\dfrac{a+c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b+d}{b+d}\right)=1+1=2\)

Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)=> đpcm

Answer 2

[Trần Thị Thu An]

Bạn ơi đây là Tiếng Anh mà chứ đâu phải Toán