Cho a, b, c, d \(\in\) N, a \(\ge\) b \(\ge\) c \(\ge\) d.Chứng minh rằng Q = (a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d) chia hết cho 12
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2\ge a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\)
\(\Leftrightarrow b^2-ab+ac-bc\le0\)
\(\Leftrightarrow b\left(b-a\right)-c\left(b-a\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(b-a\right)\le0\) (luôn đúng do \(a\ge b\ge c\))
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\end{matrix}\right.\)
b/ Tương tự như câu trên:
\(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c\right)^2-d^2=\left(a-b+c-d\right)\left(a-b+c+d\right)\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
1/ \(a^2-b^2+c^2\ge\left(a-b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow bc-ac-b^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bc-ac\right)+\left(ab-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)(đúng)
Vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\\b\ge c\end{cases}}\)
2/ \(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-d^2+cd-bd+ad+bc-ac-b^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(dc-d^2\right)+\left(ad-bd\right)+\left(bc-ac\right)+\left(ba-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow d\left(c-d\right)+d\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Đúng vì \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)
\(a\ge b\Leftrightarrow a^2\ge b^2\Leftrightarrow a^2-b^2\ge0\)
\(c\ge d\Leftrightarrow c^2\ge d^2\Leftrightarrow c^2-d^2\ge0\)
\(-ab+ac\le0\)
\(-ad-cd\le0\)
\(-bc+bd\le0\)
\(\Rightarrow2\left(-ab+ac-ad-cd-bc+bd\right)\le0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
Bằng nhau khi và chỉ khi a = b = c = d
Dấu lớn xảy ra khi a> b >c > d
***Mình chẳng hiểu bài làm của mình đâu. Mong bạn thông cảm. Bạn mà hiểu được thì qủa là thiên tài ***********
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\dfrac{a^2}{4}+b^2\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{4}}=\dfrac{2ab}{2}=ab\)
\(\dfrac{a^2}{4}+c^2\ge2\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{4}}=\dfrac{2ac}{2}=ac\)
\(\dfrac{a^2}{4}+d^2\ge2\sqrt{\dfrac{a^2d^2}{4}}=\dfrac{2ad}{2}=ad\)
\(\dfrac{a^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{2a}{2}=a\)
Cộng theo vế: \(a^2+b^2+c^2+d^2+1\ge ab+ac+ad+a=a\left(b+c+d+1\right)\)Dấu "=" xảy ra khi: \(a=2;b=c=d=1\)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+1\ge a\left(b+c+d+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4\ge4ab+4ac+4ad+4a\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4-4ab-4ac-4ad-4a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-2ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad^2+4d^2\right)+\left(a^2-4a+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: a = 2; b = c = d = 1