vận dụng a>1,b>1. Tìm min của \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 9 2020
Đặt \(\left(a-1;b-1\right)=\left(x;y\right)>0\)
\(\Rightarrow P=\frac{\left(x+1\right)^2}{y}+\frac{\left(y+1\right)^2}{x}\ge\frac{\left(x+y+2\right)^2}{x+y}=\frac{\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)+4}{x+y}\)
\(P\ge x+y+\frac{4}{x+y}+4\ge2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)}{x+y}}+4=8\)
\(P_{min}=8\) khi \(x=y=1\) hay \(a=b=2\)
PT
1
PN
25 tháng 9 2020
Sử dụng bđt Svacxo ta có : \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Ta có bđt phụ sau : \(x^2\ge8\left(x-2\right)\)biến đổi tương đương \(\left(x-4\right)^2\ge0\)*đúng*
Khi đó : \(\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)< =>\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)Hay \(P\ge8\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
Vậy GTNN của P = 8 đạt được khi a = b = 2
9 tháng 4 2018
a, Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b, Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x,y,z>0\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2+\left(1+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{3}=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
* Các BĐT phụ bạn tự CM nha! Chúc bạn học tốt
L1
cho a>0, b>0, c>0, a+b+c\(\le\)1
tìm min của p=\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\)
0
T
22 tháng 7 2019
Em làm thử nhé!
Bài 1: \(A=\left[\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\right]+\left[\frac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\right]-4\left(a+b\right)+8\)
Cauchy vào là ra rồi ạ;)
Bài 2: Em chịu
22 tháng 7 2019
2) Có: \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=1\); \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}=2\)
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}\ge\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3=\frac{a^2}{\sqrt{a}}+\frac{b^2}{\sqrt{b}}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge=\frac{2^2}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)