cho x,y,z >1 và x+y=z=4
c/m : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\le\frac{xyz}{64}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
RR
16 tháng 5 2018
\(\Sigma\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2\left(2+1\right)^2}{2a.\left(\Sigma a\right)+2a^2+bc}\right)\le\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\dfrac{4a^2}{2a\left(\Sigma a\right)}+\dfrac{1}{9}.\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(=\Sigma\left(\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{2a}{\Sigma a}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\right)=\dfrac{1}{9}\left(2+\Sigma\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Cần chứng minh \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
<=> \(\Sigma\frac{bc}{2a^2+bc}\ge1\) (*)
Đặt (x;y;z) -------> \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\)
Suy ra (*) <=> \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+2xy}\ge1\Leftrightarrow\frac{\Sigma x^2}{\Sigma x^2}\ge1\) (đúng)
Vậy \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
Suy ra \(\Sigma\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}\le\frac{1}{9}\left(2+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\le\frac{1}{9}\left(2+1\right)=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1
8 tháng 9 2020
Câu a đề hơi sai nha bạn, nên mình chỉ giải câu b thoi
Áp dụng AM-GM cho các bộ 3 số dương (x,y,z) và (1/x,1/y,1/z):
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow P\ge6\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge2\sqrt{6\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}}=6\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)( thỏa x,y,z thuộc (0;1))
28 tháng 1 2020
\(RHS=\Sigma\frac{1}{\left(x+1\right)^2+y^2+1}=\Sigma\frac{1}{x^2+y^2+2x+2}\le\Sigma\frac{1}{2xy+2x+2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Mình nghe nói \(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=1\) với \(xyz=1\) đó bạn
Chớ mình gà mình không biết chứng minh đâu,còn cái đoạn đánh giá dưới mẫu đầu tiên đó hình như là BĐT Côsi đó bạn.
hình như dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1
PN
15 tháng 8 2020
dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi
\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc
EZ :)))
TN
5 tháng 10 2017
\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(1+3x\right)\left(x+8y\right)\left(y+9z\right)\left(z+6\right)}{xyz}\ge7^4\)
\(\Leftrightarrow\left(1+3x\right)\left(1+\frac{8y}{x}\right)\left(1+\frac{9z}{y}\right)\left(1+\frac{6}{z}\right)\ge7^4\)
Áp dụng BĐT Huygens ta có:
\(VT\ge\left(1+\sqrt[4]{3x\cdot\frac{8y}{x}\cdot\frac{9z}{y}\cdot\frac{6}{z}}\right)=7^4=VP\)
Khi \(x=2;y=\frac{3}{2};z=1\)
Lời giải:
Khai triển, BĐT cần chứng minh tương đương với
\(64(xy+yz+xz)-63xyz\geq 192\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=\max (x,y,z)\Rightarrow z\geq \frac{4}{3}\)
Đặt \(f(x,y,z)=64(xy+yz+xz)-63xyz\)
Ta sẽ chứng minh \(f(x,y,z)\geq f\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z\right)\)
\(\Leftrightarrow 64(xy+yz+xz)-63xyz\geq 64\left [ \left ( \frac{x+y}{2} \right )^2+z(x+y) \right ]-63z\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{64(x-y)^2}{4}\leq \frac{63z(x-y)^2}{4}\Leftrightarrow z\geq\frac{63}{64}\)
Điều này hiển nhiên đúng vì \(z\geq \frac{4}{3}>\frac{63}{64}\)
Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra \(f\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z\right)\geq 192\)
\(\Leftrightarrow 64\left [ \left ( \frac{x+y}{2} \right )^2+z(x+y) \right ]-63z\left ( \frac{x+y}{2} \right )^2\geq 192\)
\(\Leftrightarrow 64z(4-z)+16(4-z)^2-\frac{63}{4}z(4-z)^2\geq 192\Leftrightarrow 63z^3-312z^2+496z-256\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (3z-4)^2(7z-16)\leq 0\Leftrightarrow z\leq \frac{16}{7}\)
BĐT trên đúng vì \(x,y>1\Rightarrow z=4-x-y<2<\frac{16}{7}\)
Do đó \(f(x,y,z)\geq f\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z\right)\geq 192\)
Chứng minh hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{4}{3}\)