Cho hai số dương a, b thỏa: ab> a+b. CMR: a+b>=4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
0
HN
0
T
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai,
a,b,c là 3 số dương.
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).
Vậy điều giả sử trên là sai,
Do đó a,b,c là 3 số dương.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2020
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}>4\)
Câu b chắc là \(a+2b+c\ge4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
BĐT tương đương:
\(a+2b+c\ge4\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có:
\(VP=4\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\left(a+2b+c\right)^2\left(c+a\right)\)
\(VP\le\left(a+2b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{4}\left(a+2b+c\right)\left(a+2b+c+c+a\right)^2\)
\(\Rightarrow VP\le\frac{1}{4}\left(a+2b+c\right)\left(2a+2b+2c\right)^2=a+2b+c\) (đpcm)
Dấu "=" không xảy ra
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\((a+b)(b+c)(c+a)-4(a+b+c-1)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc-4(a+b+c-1)\)
\(=(a+b+c)(ab+bc+ac)+3-4(a+b+c)=M\)
-------------------------
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\((ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq \sqrt{3(a+b+c)}\). Đặt \(\sqrt{3(a+b+c)}=t\Rightarrow a+b+c=\frac{t^2}{3}\)
AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow t=\sqrt{3(a+b+c)}\geq 3\)
Khi đó:
\(M\geq (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}+3-4(a+b+c)=\frac{t^2}{3}.t+3-\frac{4t^2}{3}\)
\(=\frac{(t-3)(t^2-t-3)}{3}=\frac{(t-3)[t(t-3)+4(t-3)+9]}{3}\geq 0\) với mọi $t\geq 3$
Vậy $M\geq 0$, hay $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
1 tháng 9 2021
ta có :
\(ab>2016a+2017b\Rightarrow a\left(b-2016\right)>2017b\) hay ta có : \(a>\frac{2017b}{b-2016}\)
Vậy \(a+b>\frac{2017b}{b-2016}+b=b+2017+\frac{2016\times2017}{b-2106}=b-2016+\frac{2016\times2017}{b-2106}+2016+2017\)
\(\ge2\sqrt{2016\times2017}+2016+2017=\left(\sqrt{2016}+\sqrt{2017}\right)^2\)
Vậy ta có đpcm