Cmr \(n^2(n+1)+2n(n+1) \) chia hết cho 6 \(\forall n\in Z\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 10 2019
a) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)
\(=\left(n+3+n-1\right)\left(n+3-n+1\right)\)
\(=\left(2n+2\right)4\)
\(=2\left(n+1\right).4\)
\(=8\left(n+1\right)⋮8\)
=> đpcm
TN
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 1 2017
Đặt \(A=n(n+1)(2n+1)\)
Nếu $n$ chẵn thì $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)
Nếu $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn, do đó $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)
Vậy $A$ luôn chia hết cho $2$ $(I)$
Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $A$ chia hết cho $3$
Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$
Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$
Vậy $A$ luôn chia hết cho $3$ $(II)$
Từ $(I),(II)$ kết hợp với $(2,3)=1$ suy ra \(A\vdots (2.3=6)\) (đpcm)
ND
1
20 tháng 8 2016
c) +) giả sử k chẵn--> k2 chẵn --> k2-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k2 lẻ --> k2-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x2=(-4)2=16>9(ko thỏa đề)
TH
1
LD
3 tháng 1 2019
Đặt \(Q=n^6+n^4-2n^2\)
\(\Rightarrow Q=n^2\left(n^4+n^2-2\right)\)
\(=n^2\left[\left(n^4-1\right)+\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n^2\left[\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)+\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)\)
\(=n\cdot n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+2\right)\)
* Nếu n chẵn. Đặt n = 2k (với k thuộc Z)
\(\Rightarrow Q=4k^2\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)\left(4k^2+2\right)\)
\(=4k^2\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)\cdot2\left(2k^2+1\right)\)
\(=8k^2\left(2k^2+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)⋮8\)
* Nếu n lẻ. Đặt n = 2k+1 (với k thuộc Z)
\(\Rightarrow\)\(Q = (2k + 1)^2 .2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) \)
\(= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) \)
Vì \(k\left(k+1\right)⋮2\) \(\Rightarrow Q⋮8\)
Vậy \(Q⋮8\)
** Nếu \(n⋮3\)
\(\Rightarrow n^2⋮9\Rightarrow Q⋮9\)
** Nếu \(n⋮̸3\)
Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\)
Mà \(n⋮̸3\Rightarrow n^2+2⋮3\)
\(\Rightarrow Q⋮9\)
Có \(\left(8;9\right)=1\Rightarrow Q⋮72\)
NA
15 tháng 12 2018
1. Xét n=1
VT = 12 = 1
VP = \(\dfrac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}=\dfrac{1.\left(4.1-1\right)}{3}=1\)
=> VT = VP
=> Mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n = k , mệnh đề đúng hay: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2=\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)}{3}\)+) Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng, tức là: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right).\left(4.\left(k+1\right)^2-1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(1\right)\)
+) Thật vậy, với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{k.\left(4.k^2-1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\\ =\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)+3.\left(2k+1\right)^2}{3}=\dfrac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(2\right)\)+) Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh
NA
15 tháng 12 2018
2. +) Xét n = 1
\(< =>4^1+15.1-1=18⋮9\)
=> với n=1 , mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n=k , mệnh đề đúng, tức là: \(4^k+15k-1⋮9\)
+) Ta phải chứng minh với n = k + 1 mệnh đề cũng đúng, tức là: \(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1⋮9\)
Thật vậy: với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=4.4^k+15k+15-1\\ =4.4^k+4.15k-4-3.15k+18=4.\left(4^k+15k-1\right)-\left(45k-18\right)⋮9\)=> Điều phải chứng minh.
\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 . Mà (2,3) = 1 nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.
Từ đó có đpcm
\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)
=>đpcm