Question

[Trần Quang Phát]

Cho hàm số f(x)=-x^3-2x^2+mx-3,m là tham số .Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn [-2021;2021] để f'(x) >0 với mọi x thuộc (0;1)

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(f\left(x\right)=-x^3-2x^2+mx-3\)

\(f'\left(x\right)=-3x^2-4x+m\)

\(f'\left(x\right)>0\Leftrightarrow-3x^2-4x+m>0\Leftrightarrow m>3x^2+4x\)(đúng với mọi \(x\in\left(0,1\right)\))

suy ra \(m\ge max\left(3x^2+4x\right)\)với \(x\in\left[0,1\right]\).

Xét hàm \(g\left(x\right)=3x^2+4x\)với \(x\in\left[0,1\right]\).

\(g'\left(x\right)=6x+4\)

\(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow6x+4=0\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\notin\left[0,1\right]\).

\(g\left(0\right)=0,g\left(1\right)=7\)

suy ra \(g_{max}=7\)

do đó \(m\ge7\).

Mà \(m\)nguyên, \(m\in\left[-2021,2021\right]\)nên có tổng cộng: \(2021-7+1=2015\)giá trị của \(m\)thỏa mãn.