Question

[bảo minh]

Chứng minh rằng : \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Ta có : \(x^4-x+\frac{1}{2}=\left(x^4-x^2+\frac{1}{4}\right)+\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)=\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Vì dấu "=" không đồng thời xảy ra nên ta có \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)

Answer 2

[Lê Nguyên Hạo]

Xét: \(x\) dương => \(x^4\) dương, \(x\) dương.

=> Giả sử x = 1 => x⁴ - x + 1/2 = 1 - 1 + 1/2 = 0,5 > 0 (đpcm)

=> Giả sử x \(\)>2 => x⁴ - x + 1/2 > 16 - 2 + 1/2 > 0 (luôn đúng với mọi x > 2) (đpcm)

Xét x âm => x⁴ dương, x âm

=> x⁴ - x dương (với mọi x) => x⁴ - x + 1/2 dương => x⁴ - x + 1/2 > 0 (đpcm)

Vậy biểu thức trên đúng với mọi x nguyên.