Cho x>y>z. Chứng minh rằng:
A= x4(y-z)+y4(z-x)+z4(x-y) luôn luôn dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
1
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
13 tháng 7 2023
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)
Ta có
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)
Bình phương 2 vế của (1)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)
Do x+y+z=0 nên
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)
Thay (3) vào (2)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)
TP
1
TN
29 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:
\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27}\)
Xảy ra khi x=y=z=1/3
VD
1
N
8 tháng 9 2019
Ta co:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\) ; \(xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\frac{27}{27}=1\)
\(P=x^4+y^4+z^4+12\left(1-z-y+yz-x+xz+xy-xyz\right)\)
\(=x^4+y^4+z^4+12-12xyz-12\left(x+y+z\right)+12\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}+12-12.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}-12.3+12\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\ge3+12-12.1-36+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\)
\(\ge-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)\)
\(=-33+4.\left(xy+yz+zx\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\ge-33+4\left(xy.\frac{1}{xy}+yz.\frac{1}{yz}+zx.\frac{1}{zx}\right)^2\)
\(=-33+4\left(1+1+1\right)^2=-33+36=3\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Vay \(P_{min}=3\)khi \(x=y=z=1\)
NP
2
17 tháng 12 2020
Xét hiệu \(x^4-15x+14=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)\le0\)
\(\Rightarrow x^4\le15x-14\).
Tương tự: \(y^4\le15y-14;z^4\le15z-14\).
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên kết hợp giả thiết x + y + z = 5 ta có:
\(P=x^4+y^4+z^4\le15\left(x+y+z\right)-42=33\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = (2, 2, 1) và các hoán vị.
Vậy...
17 tháng 12 2020
cho mình hỏi làm thế nào để bạn tìm ra đc cách xét hiệu x4-15x+14
có phưong pháp nào ko
nếu có thì bn giúp mk vs nhé
HT
1
31 tháng 7 2016
Ta có:
A = ( -x + y - z) - ( y - x ) - ( x- z )
A = -x + y - z - y + x - x + z
A = ( -x + x ) + ( y - y ) - ( z - z )
A = 0 + 0 - 0 = 0
=> ĐPCM
Vậy giá trị của biểu thức A luôn dương
K ĐÚNG CHO MIK ĐÓ NHA MẤY CẬU !
24 tháng 7 2016
\(A=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=x^4y-x^4z+y^4z-y^4x+z^4\left(x-y\right)\)
\(=xy\left(x^3-y^3\right)-z\left(x^4-y^4\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=xy\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-z\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left[xy\left(x^2+xy+y^2\right)-z\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)+z^4\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3z-x^2yz-xy^2z-y^3z+z^4\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left[x^3\left(y-z\right)+x^2y\left(y-z\right)+xy^2\left(y-z\right)-z\left(y^3-z^3\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left[x^3\left(y-z\right)+x^2y\left(y-z\right)+xy^2\left(y-z\right)-z\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[x^3+x^2y+xy^2-z\left(y^2+yz+z^2\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^3+x^2y+xy^2-y^2z-yz^2-z^3\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[x^3-z^3+y\left(x^2-z^2\right)+y^2\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[\left(x-z\right)\left(x^2+xz+z^2\right)+y\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[x^2+xz+z^2+y\left(x+z\right)+y^2\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\frac{2\left(x^2+xz+z^2+xy+yz+y^2\right)}{2}\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\frac{x^2+2xz+z^2+x^2+xy+y^2+y^2+yz+z^2}{2}\)
\(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\frac{\left(x+z\right)^2+\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2}{2}\)
\(Ta\)\(có\)\(x>y>z\Rightarrow\left(x-y\right);\left(y-z\right);\left(x-z\right)>0\)
\(\left(x+z\right)^2;\left(y+z\right)^2;\left(x+y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow A>o\Rightarrow A\)\(luôn\)\(dương\)
ta có:
X4 z4 y4 luôn>0
x-y>=\(\sqrt{2xy}\) >0
tương tự z-x, y-z =>A luôn dương
bạn cho mk hỏi cái dòng thứ 2 nghĩa là gì ?