1/ Từ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). CMR: \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
3 tháng 2 2017
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Áp dụng TC DTSBN ta có :
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) ( đpcm )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
Từ \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\)
\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ab+bc\Leftrightarrow ac< bc\Leftrightarrow a< b\) (đúng với giả thiết)
a/ Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\) ; \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\); \(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 2 2020
b/ \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Mặt khác:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{b+c+d+a}\) ...
Bạn tự làm nốt
c/ Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\) làm tương tự 3 cái còn lại
Cộng lại sẽ ra BĐT bên trái
Sau đó \(\frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}\) làm tương tự với 3 cái còn lại rồi cộng lại ra BĐT bên phải
10 tháng 2 2018
a, Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2-2ab >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<=> a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Vì a,b > 0 nên ta chia 2 vế bđt cho (a+b).ab ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a+1/b >= 4/a+b
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Tk mk nha
PO
1
GD
30 tháng 11 2019
Theo t/c tỉ lệ thức ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\) (1)
Mặt khác : \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\) (3)
Tương tự :
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{a+b}{a+b+c+d}\) (4)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\) (5)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\) (6)
Cộng vế với vế của (3),(4),(5),(6), ta có :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\) (đpcm)
NA
8 tháng 9 2018
Với a,b,c,d là các số dương, ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d};\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d};\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
Cộng 4 bất đẳng thức trên, ta đc :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)(1)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+c};\frac{c}{c+d+a}< \frac{c}{a+c}\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{a+d+a}< 1\)(2)
\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b}{b+d};\frac{d}{d+a+b}< \frac{d}{b+d}\Rightarrow\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< 1\)(3)
(1),(2),(3) => đpcm
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
Khi đó \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{bk-b}{bk+b}=\frac{b\left(k-1\right)}{b\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\) (1)
\(\frac{c-d}{c+d}=\frac{dk-d}{dk+d}=\frac{d\left(k-1\right)}{d\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}\) (đpcm)
Giải:
Đặt \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)=k => \(\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}\)
=> \(\frac{a-b}{a+b}\)=\(\frac{bk-b}{bk+b}\)=\(\frac{b.\left(k-1\right)}{b.\left(k+1\right)}\)=\(\frac{k-1}{k+1}\) /1/
và \(\frac{c-d}{c+d}\)=\(\frac{dk-d}{dk+d}\)=\(\frac{d.\left(k-1\right)}{d.\left(k+1\right)}\)=\(\frac{k-1}{k+1}\) /2/
Từ /1/ và /2/ => \(\frac{a-b}{a+b}\)=\(\frac{c-d}{c+d}\) (đpcm)