Question

[muon tim hieu]

cho x^2+y^2+z^2=2. chứng minh rằng: x+y+z =<2+xyz

giờ này rồi còn ai không giúp mình với. huhu

Answer 1

[nhung]

Use BĐT C-S ta có

x(1-yz)+y+z\(\le\sqrt{\left(x^2+\left(y+z\right)^2\right)\left(\left(1-yz\right)^2+1^2\right)}\)=\(\sqrt{\left(2+2yz\right)\left(2+\left(yz\right)^2-2yz\right)}\)

Vậy chỉ cần CM:\(\sqrt{\left(2+2yz\right)\left(2+\left(yz\right)^2-2yz\right)}\le2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+yz\right)\left(2+\left(yz\right)^2-2yz\right)\le2\)

\(\Leftrightarrow\left(yz\right)^3\)\(\le\left(yz\right)^2\)

BĐT cuối cùng đúng vì:

2=x\(^2\)+y\(^2\)+z\(^2\)\(\ge\)y\(^2\)+z\(^2\)\(\ge\)2\(\left|yz\right|\)\(\Rightarrow\left|yz\right|\le1\)

\(\Rightarrow\left(yz\right)^3\)\(\le\)(yz)\(^2\)

BĐT đc chứng minh

đẳng thức xảy ra chẳng hạn 1 số =0 và 2 số =1