Chứng minh n^5 - n chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
K
0
K
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 12 2021
Lời giải:
$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)\vdots 3$
Vì $n(n-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)\vdots 2$
$\Rightarrow n^5-n\vdots 2,3$
Mà $(2,3)=1$ nên $n^5-n\vdots 6(*)$
Mặt khác:
Ta biết rằng 1 scp chia 5 có thể có dư là $0,1,4$
$\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n$ nguyên $(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow n^5-n\vdots (5.6=30)$
IL
1
S
26 tháng 6 2018
Ta có; n5-n=n(n4-1)
=n(n2-1)(n2-4+5)
=n(n-1)(n+1)(n2-4)+5n(n-1)(n+1)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)
Vì n(n-1)(n+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3 (1) => 5n(n-1)(n+1) chia hết cho 30 (2)
CÓ: n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 5
Mà n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3 => n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 30 (3)
Từ (1),(2),(3) => n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1) chia hết cho 30 hay n5-n chia hết cho 30 (đpcm)
VK
0
NT
0
YB
0
NH
0
NH
1
10 tháng 11 2015
chia hết cho 3: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp
Chia hết cho 5: Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp
PM
1
26 tháng 10 2016
A=n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
nếu n=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
Nếu n=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
=> A chia hết cho 10
nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Nếu n=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30
=n(n^4-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
nếu n=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
Nếu n=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
=> A chia hết cho 10
nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Nếu n=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30
Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 )
=n (n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5)
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
hay n^5-n chia hết cho 30
Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 )
=n (n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5)
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
hay n^5-n chia hết cho 30