Question

[Đoàn Thị Thu Hương]

Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kì trên BC, AM cắt DC ở N, DM cắt AB ở I, BN cắt CI ở K

a, tính đoạn CK, biết MC=a/3

b, CMR: 1/AM²+1/AN²; 1/CM - 1/CN luôn không đổi

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Đầu tiên ta chứng minh \(BN\perp CI.\) Thực vậy, theo định lý Ta-let (Thales) ta có 

\(\frac{CN}{AB}=\frac{CM}{BM}=\frac{CD}{BI}\to\frac{CN}{BC}=\frac{BC}{BI}\to\Delta CBN\sim\Delta BIC\left(c.g.c\right)\to\angle CBN=\angle CIB\to\angle BKI=90^{\circ}.\)
 

Vậy \(BN\perp CI.\)

a)  Vì \(MC=\frac{a}{3}\to BM=\frac{2a}{3}.\)  Theo định lý Thales, ta có \(\frac{CN}{AB}=\frac{CM}{BM}\to\frac{CN}{a}=\frac{1}{2}\to CN=\frac{a}{2}.\)
Xét tam giác vuông \(BCN\) có \(BC=a,CN=\frac{a}{2},\) theo hệ thức liên hệ giữa độ dài cạnh và đường cao \(\frac{1}{CK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{CN^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{5}{a^2}\to CK=\frac{a}{\sqrt{5}}.\)

b) Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP=BM. Suy ra \(\Delta BAM=\Delta DAP\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông). Suy ra \(AP=AM.\)  Xét tam giác vuông \(APN\) với đường cao AD, ta có \(\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}\to\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{a^2}\)  không đổi. 

Mặt khác, theo định lý Thales, ta có 

\(\frac{AB}{CN}=\frac{BM}{CM}=\frac{BC-CM}{CM}=\frac{BC}{CM}-1=\frac{AB}{CM}-1\to\frac{AB}{CM}-\frac{AB}{CN}=1\to\frac{1}{CM}-\frac{1}{CN}=\frac{1}{AB}\)   không đổi.   (ĐPCM)