Question

[Nguyễn Trọng Nghĩa]

Trong mặt phẳng cho 3 điểm A(1;2), B(3;4), C(-1;3). Hãy viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua C và cách đều A,B

Answer 1

[Lê Ngọc Phương Linh]

Giả sử đường thẳng \(\Delta\) cần tìm có phương trình dạng :

\(ax+by+a-3b=0,a^2+b^2\ne0\)

Khi đó :

\(d\left(A;\Delta\right)=\frac{\left|a+2b+a-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(d\left(B;\Delta\right)=\frac{\left|3a+4b+a-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|4a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Do  \(\Delta\) cách đều A, B nên \(d\left(A;\Delta\right)=d\left(B;\Delta\right)\) hay :

\(\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|4a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)\(\Leftrightarrow\left|2a-b\right|=\left|4a+b\right|\)

                            \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=-b\\a=0\end{cases}\)

- Nếu a=0 thì do \(a^2+b^2\ne0\) nên \(b\ne0\) tùy ý. Do đó, có thể chọn b =1 và ta được \(\Delta_1:y-3=0\)

- Nếu a=-b thì do \(a^2+b^2\ne0\) nên \(b\ne0\) tùy ý. Do đó, có thể chọn a = 1, b=-1 và ta được \(\Delta_2:x-y+4=0\)

Vậy qua C có 2 đường thẳng \(\Delta_1:y-3=0\) và \(\Delta_2:x-y+4=0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

 

Answer 2

[Phạm Thái Dương]

Đường thẳng \(\Delta\) cách đều 2 điểm A, B khi và chỉ khi hoặc  \(\Delta\)  song song với AB hoặc  \(\Delta\)  đi qua trung điểm đoạn AB

- Nếu  \(\Delta\)  // AB thì  \(\Delta\)  nhận vec tơ  \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\) làm vec tơ chỉ phương, suy ra nếu có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;-1\right)\). Vậy \(\Delta:x-y+4=0\)

- Nếu  \(\Delta\)  đi qua trung điểm M(2;3) của đoạn AB  thì  \(\Delta\)  nhận vec tơ  \(\overrightarrow{CM}=\left(3;0\right)=3\left(1;0\right)\) làm vec tơ chỉ phương, suy ra nếu có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{m}=\left(0;1\right)\). Vậy \(\Delta:y-3=0\)

  

  àm vec tơ chỉ phương, suy ra nếu có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{m}=\left(0;1\right)\). Vậy \(\Delta:y-3=0\)

 

\(\Delta\) đi qua trung điểm M(2;3) của đoạn AB thì nhận vec tơ \(\overrightarrow{CM}=\left(3;0\right)=3\left(1;0\right)\)