K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 3 2016

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học 
Với n = 1, ta có: 
1 = (1 + 1)/2 (đúng) 
Giả sử mệnh đề đúng với n = k >= 1 (k thuộc N*), tức là: 
1 + 2 + 3 + 4 +.......+ k = k(1 + k)/2 
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là: 
1 + 2 + 3 + 4 + .......+ k +1 = (k + 1)(k + 2)/2 (*) 
Biến đổi tương đương, ta có: 
(*) <=> 1 + 2 + 3 + 4 +......+ k + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2 
<=> (1 + 2 + 3 + 4 +......+ k) + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2 
<=> k(k + 1)/2 + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2 
<=> (k + 1)(k/2 + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 (đúng) 
Đẳng thức trên đúng 
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được mệnh đề: 
1 +2 + 3 + 4 +.......+ n = n(1 + n)/2

18 tháng 3 2016

Đặt biểu thức là (*)

Với n=1 

=> (*)<=> 1=\(\frac{1.\left(1+1\right)}{2}\) 

Vậy với n=1 ( đúng )

Giả sử (*) đúng với n=k

=> (*) <=> 1+2+3+...+k = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

Ta chứng minh n=k+1

Thật vậy n=k+1 thì

(*) <=> 1+3+3+...+k+k+1 = \(\frac{k+1.\left(k+2\right)}{2}\)

<=> \(\frac{K\left(k+1\right)}{2}+K+1=\frac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\)

<=> \(\frac{k}{2}+1=\frac{k+2}{2}\)

<=>\(\frac{k}{2}+1=\frac{k}{2}+1\left(đúng\right)\)

Vậy (*) đúng với n=k+1

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ϵ N ( Khác 0 )

 

1 tháng 6 2018

vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé

1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Do đó : 

\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)

1 tháng 6 2018

2.

Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

Do đó : 

\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)

18 tháng 9 2019

\(B=\left(1-\frac{3}{2.4}\right)\left(1-\frac{3}{3.5}\right)\left(1-\frac{3}{4.6}\right)...\left(1-\frac{3}{n\left(n+2\right)}\right)\)

\(=\frac{1.5}{2.4}.\frac{2.6}{3.5}.\frac{3.7}{4.6}...\frac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)

\(=\frac{\left[1.2.3...\left(n-1\right)\right]\left[5.6.7...\left(n+3\right)\right]}{\left(2.3.4...n\right)\left[4.5.6...\left(n+2\right)\right]}\)

\(=\frac{n+3}{4n}< 2\left(đpcm\right)\)

18 tháng 3 2017

Ta có: \(\frac{1.3.5.7.....\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right).....2n}\)

\(=\frac{1.2.3.4..5.6...\left(2n-1\right).2n}{\left(2.4.6....2n\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....2n}\)

\(=\frac{1.2.3.4.5.6...\left(2n-1\right)}{2^n.1.2.3....n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....2n}\)

\(=\frac{1}{2^n}\left(đpcm\right)\)

17 tháng 6 2016

Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:

\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:

\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)

17 tháng 6 2016

Đây bạn:

/hoi-dap/question/55444.html

17 tháng 6 2016

/hoi-dap/question/55444.html

17 tháng 6 2016

Bạn bấn vào đây, câu hỏi của bạn có người trả lời rồi Câu hỏi của Lương Ngọc Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

11 tháng 10 2017

khó thế