cho a,b,c>0. C/M: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>=\frac{2}{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 3 2020
Bài 1 :
Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm
\(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+1\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^6}{b^6}}}=\frac{3a}{b}\)
\(\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+1\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{b^6}{c^6}}}=\frac{3b}{c}\)
\(\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}+1\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{c^6}{a^6}}}=\frac{3c}{a}\)
Cộng theo vế , ta được :
\(2\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)+3\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
\(\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+3\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Vậy \(\Rightarrow\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(đpcm\right)\)
DA
1
KN
19 tháng 7 2020
Theo BĐT AM - GM, ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\)(2) ; \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\)\(=\frac{a+b+c}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 6 2019
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2020
Lời giải:
Nên bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một phân biệt. Đặt biểu thức cần chứng minh bằng $0$ là $P$
Ta có:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{b}{(b-c)(c-a)}+\frac{c}{(b-c)(a-b)}+\frac{a}{(c-a)(b-c)}+\frac{c}{(c-a)(a-b)}+\frac{a}{(a-b)(b-c)}+\frac{b}{(a-b)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{b(a-b)+c(c-a)+a(a-b)+c(b-c)+a(c-a)+b(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\Rightarrow P=0\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 3 2019
Lời giải:
Từ \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b-c}=-\left(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(c-a)(a-b)}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{b}{(c-a)^2}=-\frac{a^2-ab+bc-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}\); \(\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
Cộng theo vế những điều vừa thu được ta có:
\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=-\frac{ba-b^2+c^2-ca+a^2-ab+bc-c^2+ac-a^2+b^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
Ta có đpcm.
23 tháng 3 2019
⇒ab−c=−(bc−a+ca−b)=−ba−b2+c2−ca(c−a)(a−b)⇒ab−c=−(bc−a+ca−b)=−ba−b2+c2−ca(c−a)(a−b)
⇒a(b−c)2=−ba−b2+c2−ca(a−b)(b−c)(c−a)⇒a(b−c)2=−ba−b2+c2−ca(a−b)(b−c)(c−a)
Hoàn toàn tương tự:
b(c−a)2=−a2−ab+bc−c2(a−b)(b−c)(c−a)b(c−a)2=−a2−ab+bc−c2(a−b)(b−c)(c−a); c(a−b)2=−ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)c(a−b)2=−ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)
Cộng theo vế những điều vừa thu được ta có:
a(b−c)2+b(c−a)2+c(a−b)2=−ba−b2+c2−ca+a2−ab+bc−c2+ac−a2+b2−bc(a−b)(b−c)(c−a)=0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 10 2019
Copy paste lại bài hôm rồi, đỡ phải nghĩ:v
Ta chứng minh bổ đề sau: cho hai dãy số dương \(a\ge b\ge c\) và \(x\ge y\ge z\) thì \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\ge b^3\ge c^3\\\frac{1}{b^2+c^2}\ge\frac{1}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3}{a^2+b^2}\)
Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)