cho \(\begin{cases}a+b+c>0\\ab+bc+ca>0\\abc>0\end{cases}\)
chứng minh rằng \(a,b,c>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 9 2018
Đặt \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\),xyz=1
Cần CM: \(1+\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{6}{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}}\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{3}{xy+yz+zx}\ge\frac{6}{x+y+z}\)
Thật vậy \(1+\frac{3}{xy+yz+zx}\ge1+\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{9}{x+y+z}}=\frac{6}{x+y+z}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
LH
7 tháng 8 2016
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}\right)^2+\left(\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)\le\left(\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)\le ab\)
Thấy: \(c\left(a-c+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow ac-\left(c^2-cb+c^2\right)\)
\(c< b\Rightarrow ac< ab\)
Do đó: \(ac-\left(c^2-cb+c^2\right)< ab\)
Vậy: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
13 tháng 6 2017
ta cần cm \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le ab\)
mà theo bunhia \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(c+a-c\right)=ab\)
Giả sử ngược lại, trong 3 số a , b , c có ít nhất 1 số \(\le0\). Vì a, b, c vai trò như nhau, nên ta có thể xem \(a\le0\)
Khi đó : \(abc>0\Rightarrow\)\(a<0,bc<0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)=ab+ac>-bc>0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>0\)
\(\Rightarrow b+c<0\) ( Vì chứng minh trên có a < 0 )
\(\Rightarrow a+b+c<0\Rightarrow\) vô lí
Vậy \(a,b,c>0\)
CHẮC CHẮN A,B,C>0