baif1 CMR
a, a2+b2+c2>=ab+ac+bc
b,(a+b)2>=4ab
cac ban oi giup minh di. minh dang can lam
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sai đề rồi nha bạn!
Đề: Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.\) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
Lời giải:
Với mọi \(a,b,c\in R\) thì ta luôn có:
\(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\) \(\left(\text{*}\right)\)
Ta cần chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) là bất đẳng thức đúng!
Thật vậy, từ \(\left(\text{*}\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\) \(\left(\text{**}\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(\text{**}\right)\) hiển nhiên đúng với mọi \(a,b,c\) , mà các phép biến đổi trên tương đương
Do đó, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a+b=c\)
Mặt khác, \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) (theo giả thiết)
Mà \(\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}<2\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+c^2<2\) \(\left(\text{***}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) kết hợp với \(\left(\text{***}\right)\), ta có thể viết 'kép' lại: \(2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2<2\)
Suy ra \(2bc+2ca-2ab<2\)
Khi đó, vì \(abc>0\) (do \(a,b,c\) không âm) nên chia cả hai vế của bất đẳng trên cho \(2abc\), ta được:
\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}<\frac{2}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
Vậy, với \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) thì ta luôn chứng minh được:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{2}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}{2ab+a^2+b^2}=\frac{3+2\sqrt{2}}{\left(a+b\right)^2}=3+2\sqrt{2}\)
Xem lại đề.
nhà em ở thành phố hồ chí minh - 1 thành phố vô cùng náo nhiệt, thế nhưng con đường nhỏ nơi em sinh sống lại rất yên bình , nhất là mỗi buổi sáng sớm .
mùa hè , em thường dậy sớm để cùng ông nội đi bộ tập thể dục , vừa đi 2 ông cháu vừa trò chuyện . trên hè phố , dăm quán cà phê nhỏ chỉ mở cửa vào buổi sáng, mọi người vừa đọc báo vừa trò chuyện . hương sớm mai mát lịm . hai hàng dầu già nua bên đường thỉnh thoảng rơi xuống vài chiếc lá , chao ngiêng rồi đậu trên hè phố , hình như lũ chim trên cành vô ý làm rơi chiếc lá , chao nghiêng rồi đậu trên hè phố , hình như lũ chim trên cành vô ý làm rơi chiếc lá nên rộ lên ríu rít ...ông thường dừng lại trước cổng nhà đợi chú giao báo . chú vội lắm , chỉ thoáng cái qua đưa ông tờ báo rồi thoắt 1 cái đã đi mất . vài tia nắng sớm lọt qua kẽ lá lấp loá . 2 bên đường , các cửa hiệu bắt đầu mở cửa . mọi người bắt đầu đi làm , nhưng dường như cái âm thanh ồn ào ngoài kia chỉ lọt đc 1 phần rất nhỏ vào đây thì phải...
em chỉ nghe tiếng của lũ chim , tiếng nói cười thỉnh thoảng vang lên : tiếng của 1 ngày mới yên lành...
em yêu con phố vô cùng