cho a,b\(\in\)N thỏa \(2a^2+a=3b^2+b\) Cmr a-b và 2a+2b+1 là 1 số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 7 2015
2a2 + a = 3b2 + b => 2a2 - 2b2 + a - b = b2 => 2.(a - b).(a + b) + (a - b) = b2
=> (a - b). (2a + 2b + 1) = b2 (1)
Gọi d = ƯCLN (a-b; 2a + 2b + 1)
=> a - b chia hết cho d và 2a + 2b + 1 chia hết cho d
=> b2 = (a - b). (2a + 2b + 1) chia hết cho d2
=> b chia hết cho d
Lại có 2(a - b) - (2a + 2b + 1) chia hết cho d => -4b - 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d => d =1 => a - b và 2a + 2b + 1 nguyên tố cùng nhau (2)
(1)(2) => a- b và 2a + 2b + 1 đều là số chính phương
6 tháng 12 2016
có rùi nè, 4b đó: Cho a+b+c=0.
Tính: 1/(b^2+c^2-a^2)+1/(a^2+c^2-b^2)+1/(a^2+b^2-c^2). đó bài này đó
NC
1
C
17 tháng 3 2016
Có bổ đề sau: \(a^2=pq\) với \(a,p,q\in Z^+\) và \(\left(p,q\right)=1\) thì p,q là hai số chính phương
\(2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)(*)
Gọi d là UWCLN của a-b và 2a+2b+1 ta có từ (*) b chia hết d.
a-b chia hết cho d nên 2a-2b chia hết cho d . Vậy 2a+2b+1-(2a-2b) chia hết d
nên 4b+1 chia hết d mà b chia hết cho d nên 1 chia hết d. Vậy hai số a-b và 2a+2b+1 nguyên tố cùng nhau
Áp dụng bổ đề có đpcm
DL
0
NM
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 11 2021
a.
\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=32y\Leftrightarrow x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)
Do y và y+1 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow32⋮\left(y+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=\left\{4;16\right\}\)
\(\Rightarrow...\)
b.
\(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+a-b=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)
Gọi \(d=ƯC\left(2a+2b+1;a-b\right)\)
\(\Rightarrow b^2\) chia hết \(d^2\Rightarrow b⋮d\) (1)
Lại có:
\(\left(2a+2b+1\right)-2\left(a-b\right)⋮d\)
\(\Rightarrow4b+1⋮d\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow2a+2b+1\) và \(a-b\) nguyên tố cùng nhau
Mà tích của chúng là 1 SCP nên cả 2 số đều phải là SCP (đpcm)
Nếu \(a=0\) hoặc \(b=0\) thì \(a=b=0\to a-b=0,2a+2b+1=1\) là các số chính phương.
Xét trường hợp \(a,b\) là số nguyên dương.
Từ giả thiết suy ra \(2a^2+a-2b^2-b=b^2\to\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2.\)
Đặt \(d=UCLN\left(a-b,2a+2b+1\right)\to b^2\vdots d^2\to b\vdots d\to a\vdots d\to2a+2b\vdots d\to1\vdots d\to d=1.\)
Thành thử hai số \(a-b,2a+2b+1\) nguyên tố cùng nhau, có tích là số chính phương. Suy ra từng số phải là số chính phương (ĐPCM)