Với mọi \(n\in N\), \(n\ge3\). Chứng minh rằng: \(n^{n+1}>\left(n+1\right)^n\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VH
0
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
8 tháng 8 2021
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)
Ta có đpcm.
LG
0
LD
0
DT
0
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
16 tháng 9 2023
Cm: \(\forall\)\(x\in\) N ta có: (n + 45).(4n2 -1) ⋮ 3
Trong biểu thức không hề chứa \(x\) em nhá
Biểu thức chứa \(x\) là biểu thức nào thế em?
16 tháng 9 2023
Bài này em nghĩ là phải sửa thành với mọi \(n\inℕ\) ạ.
Đặt \(P=\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)\)
Với \(n⋮3\) thì hiển nhiên \(n+45⋮3\), suy ra \(P⋮3\)
Với \(n⋮̸3\) thì \(n^2\equiv1\left[3\right]\) nên \(4n^2\equiv1\left[3\right]\) hay \(4n^2-1⋮3\), suy ra \(P⋮3\)
Vậy, với mọi \(n\inℕ\) thì \(\left(n+45\right)\left(4n^2-1\right)⋮3\) (đpcm)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.\)
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với \(n=3\): ta có vế trái bằng \(3^4=81\), vế phải \(4^3=64\). Vậy bất đẳng thức đúng với \(n=3\).
Giả sử đúng đến \(n\), tức là ta đã có \(n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.\) Khi đó
\(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot n=n+1.\)
Do đó mệnh đề đúng với n+1.
Theo nguyên lý quy nạp đúng với mọi n.