Cho a , b , c > 0 , CMR :
\(a+b+c\)> \(\sqrt{a.b}\)+\(\sqrt{b.c}\)+\(\sqrt{c.a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DN
26 tháng 12 2017
Với a,b,c>0 .
áp dụng bđt cosi,ta có:
b.c/a+c.a/b>_2c (1)
c.a/b+a.b/c>_2a (2)
a.b/c+b.c/a>_2b ((3)
Cộng (1),,(2),,(3) vế theo vế ,ta được:
2.(b.c/a+c.a/b+a.b/c)>_ 2.(a+b+c)
=>b.c/a+c.a/b+a.b/c>_ a+b+c (đpcm)
LT
2
27 tháng 6 2017
Ta có: \(\dfrac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}=\dfrac{b}{\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}\)
\(=\dfrac{b}{\dfrac{a+b-a+b}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}=\dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b}\)
Và \(\dfrac{c}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}=\dfrac{c}{\dfrac{\left(a+c\right)-\left(a-c\right)}{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}}\)
\(=\dfrac{c}{\dfrac{a+c-a+c}{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}}=\dfrac{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}{c}\)
Từ \(a>b>c>0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>a+c\\a-b>a-c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a+b}>\sqrt{a+c}\\\sqrt{a-b}>\sqrt{a-c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}>\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b}< \dfrac{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}{c}\left(b>c>0\right)\)
Hay ta có ĐPCM
27 tháng 6 2017
\(\dfrac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}=\dfrac{b}{\dfrac{a+b-a-b}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}=\dfrac{b}{\dfrac{0}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}\rightarrow\varnothing\)
5 tháng 11 2017
Sửa đề \(a;b>c>0\)
Giả sử \(\sqrt{ab}\ge\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow ab\ge c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow ab-ac+c^2-bc+c^2-2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)-2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\right)^2-2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-c\right)^2\ge0\)đúng với \(\forall a;b>c>0\)
LB
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\([\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}]^2\leq [c+(b-c)][(a-c)+c]=ab\)
\(\Rightarrow \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2c$
3 tháng 5 2018
Ta có :\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\) (bđt AM-GM)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\\\sqrt{\frac{c}{b+a}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=c\\b+c=a\\a+c=b\end{cases}}\) \(\Rightarrow a+b+c=0\) vô lý vì \(a;b;c>0\)
Vậy \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}>2\)
ND
2
22 tháng 8 2020
BĐT CẦN CM <=> \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\ge a+b+c\)
<=> \(a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\ge a+b+c\)
<=> \(2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\ge0\)
<=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge0\)
THỰC TẾ LÀ \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}>0\) nhé do \(a;b;c>0\) mà !!!!!!
VH
22 tháng 8 2020
Bình phương 2 vế BĐT , ta có :
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}>0\left(\forall a,b,c>0\right)\)
=) ĐPCM
cách 1:
áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=\sqrt{a.b}\)(1)
\(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{c}{2}}=\sqrt{b.c}\)(2)
\(\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{c}{2}.\frac{a}{2}}=\sqrt{c.a}\)(3)
cộng 2 vế (1);(2) và (3) ta được:
\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)(điều phải chứng minh)