Question

[Thấu Kì Sa Hạ]

tam giác ABC, D thuộc tia đối của AB sao cho AD=AC,E  thuộc tia đối tia AC sao cho AE=AB. M, N lần lượt là trung điểm của BE, CD. Chứng minh M,A,N thẳng hàng

Answer 1

[Kinomoto Sakura]

Vì AE = AB (gt)

⇒ ΔABE cân tại A

⇒ ∠ABE = ∠AEB

Ta có: ∠BAC = ∠ABE + ∠AEB = 2∠ABE

Vì AD = AC (gt)

⇒ ΔADC cân tại A

⇒ ∠ADC = ∠ACD

Ta có: ∠BAC = ∠ADC + ∠ACD = 2∠ADC

⇒ ∠ABE = ∠ADC

⇒ ∠DBE = ∠BDC

⇒ BE // CD

ΔABE cân tại A có M là trung điểm của BC nên AM ⊥ BE

ΔADC cân tại A có N là trung điểm của CD nên AN ⊥ CD

⇒ 3 điểm M, A, N thẳng hàng

Vậy 3 điểm M, A, N thẳng hàng