cho x,y>=1. Chứng minh: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TB
1
1 tháng 3 2021
Áp dụng BĐT cosi:
`(y-1)+1>=2\sqrt{y-1}`
`=>\sqrt{y-1}<=y/2`
`=>x\sqrt{y-1}<=(xy)/2`
Hoàn toàn tương tự:
`\sqrt{x-1}<=x/2`
`=>y\sqrt{x-1}<=(xy)/2`
`=>x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}<=xy`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=2`
NT
2
ML
8 tháng 6 2015
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\)
Mà \(x=\left(x-1\right)+1\ge2\sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\)
Tương tự: \(\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le\frac{1}{2}\)
Vậy \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\left(đpcm\right)\)
NT
2
16 tháng 8 2017
Câu hỏi của Liên Mỹ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)
\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left (\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)
Do đó, \(A^2\leq (xy)^2\Leftrightarrow A\leq xy\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)
T
3 tháng 12 2018
Nếu để ý,bài này Cô si "ngược" là ra =))
Ta có: \(\sqrt{y-1}=\sqrt{1\left(y-1\right)}\le\frac{1+y-1}{2}=\frac{y}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{x-1}\le\frac{x}{2}\)
Do đó: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le x.\frac{y}{2}+y.\frac{x}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=\frac{2xy}{2}=xy^{\left(đpcm\right)}\)
DT
1
20 tháng 5 2017
Đề phải cho \(x,y\) dương nữa!
Giải:
Ta có: \(xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\dfrac{1}{64}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Vậy ta cần chứng minh BĐT tương đương \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)
\(\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}\) \(=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)
TN
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 7 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+xz}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+xz}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
\(\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}\right)\)
\(\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
Cộng theo vế:
\(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
11 tháng 7 2020
Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\).
Xét 4 số m, n, p, q. Ta sẽ chứng minh \(\left(m+n+p+q\right)^2\le4\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\) (*)
Thật vậy:
(*) \(\Leftrightarrow2\left(mn+np+pq+qm+mp+nq\right)\le3\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-q\right)^2+\left(q-m\right)^2+\left(m-p\right)^2+\left(n-q\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Từ đó: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{z}\right)^2\le4\left(x+y+z+z\right)=4\left(x+y+2z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\le2\sqrt{x+y+2z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\le\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}ab\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2}ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự, ta có:
\(\sum\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\sum a=\frac{1}{2}\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(xy=\left(x-1\right)y+y\ge2\sqrt{\left(x-1\right)y\cdot y}=2y\sqrt{x-1}.\)
Tương tự \(xy=\left(y-1\right)x+x\ge2\sqrt{\left(y-1\right)x\cdot x}=2x\sqrt{y-1}.\)
Cộng hai bất đẳng thức lại cho ta \(2xy\ge2y\sqrt{x-1}+2x\sqrt{y-1}\Leftrightarrow xy\ge x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}.\) (ĐPCM).