Cho a, b, c>2, chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{b+c-4}}+\frac{b}{\sqrt{a+c-4}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-4}}>=6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
14 tháng 6 2017
sai đề nhé ở đây, min nó là 16 mà 6 căn 6=14 thôi, mà cái điểm rơi cũng ngộ nữa :))
18 tháng 6 2017
Nếu bạn đã nói sai thì cho mình giải thử nhé!
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky - Cauchy - Schwarz, ta có:
\(\left(ax+by+cz\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge ax+by+cz\)(với a, b, c, x, y, z là những số dương)
\(\Rightarrow\sqrt{2+18+4}\cdot\sqrt{\frac{8}{a^2}+\frac{9b^2}{2}+\frac{c^2a^2}{4}}\ge\sqrt{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{a}+3\sqrt{2}\cdot\frac{3b}{\sqrt{2}}+2\cdot\frac{ca}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{24}\cdot\sqrt{\frac{8}{a^2}+\frac{9b^2}{2}+\frac{c^2a^2}{4}}\ge\frac{4}{a}+9b+ca\)(1)
Tương tự ta có: \(\sqrt{24}.\sqrt{\frac{8}{b^2}+\frac{9c^2}{2}+\frac{a^2b^2}{4}}\ge\frac{4}{b}+9c+ab\)(2)
\(\sqrt{24}\cdot\sqrt{\frac{8}{c^2}+\frac{9a^2}{2}+\frac{b^2c^2}{4}}\ge\frac{4}{c}+9a+bc\)(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: \(\sqrt{24}\cdot\left(VT\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+9\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\)
\(=\left(\frac{4}{a}+a\right)+\left(\frac{4}{b}+b\right)+\left(\frac{4}{c}+c\right)+\left(2a+bc\right)+\left(2b+ca\right)+\left(2c+ab\right)\)\(+6\left(a+b+c\right)\)\(\ge2\sqrt{\frac{4}{a}\cdot a}+2\sqrt{\frac{4}{b}\cdot b}+2\sqrt{\frac{4}{c}\cdot c}+2\sqrt{2abc}+2\sqrt{2abc}+2\sqrt{2abc}\)\(+6\left(a+b+c\right)\)\(=12+6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)\ge12+6\cdot10=72\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{72}{\sqrt{24}}=6\sqrt{6}\)
Dấu ''='' xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a+b+c+\sqrt{2abc}=10\\VT=6\sqrt{6}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=2}\)
Vậy ta được ĐPCM
KN
17 tháng 6 2020
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
\(\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a+b}}\right)^2=\)\(\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{a\left(5a+b+9c\right)}.\sqrt{\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}}\right)^2\)
\(\le\left(\Sigma_{cyc}a\left(5a+b+9c\right)\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\)
\(=5\left(a+b+c\right)^2\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(5\left(a+b+c\right)^2\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\le\frac{25}{16}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\le\frac{5}{16}\)
Thật vậy, ta có: \(\frac{5}{16}-\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sum_{cyc}ab(a+b)(a+9b)(a-3b)^2+243\sum_{cyc}a^3b^2c+835\sum_{cyc}a^3bc^2+232\sum_{cyc}a^4bc+1230a^2b^2c^2}{16(a+b)(b+c) (c+a)\prod_{cyc}(5a+b+9c)}\ge 0\) (đúng)
(Minh gõ bằng Latex, bạn chịu khó vô trang cá nhân của mình nhé, ngày 17/6 nha)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=3b;c=0\)
PN
12 tháng 3 2017
Ta có:
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)
Suy ra \(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
Tương tự, ta áp dụng với hai biến thực dương còn lại, thu được:
\(\hept{\begin{cases}b+2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\\c+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\end{cases}}\)
Khi đó, ta nhân vế theo vế đối với ba đẳng thức trên, nhận thấy: \(\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\) (do \(a,b,c>0\) )
nên \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ca}+\sqrt{ca}\right)}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
\(\Rightarrow\) \(đpcm\)
19 tháng 5 2020
Đề: \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}\) ???
*Ta chứng minh : \(x^4-x^3+2\ge x+1\forall x>0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3-x+1\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\ge0\) ( đúng )
Do đó: \(VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\) \(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
SL
5 tháng 6 2017
bạn sẽ tính đc \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2\)
Thay vao đc \(a+2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
lm Tương tụ r quy đòng nha bạn
SL
5 tháng 6 2017
bạn sẽ tính đc \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2\)
Ấy ,,,vi diệu ko,,,,rồi thay tiếp vào \(a+2=\sqrt{a}^2+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
bạn lm tương tự r quy đồng,,OK??
~ Hóa ra là tình yêu phút chốc, cứ tin rắng ngày mai người sẽ thấy ~
\(2\sqrt{b+c-4}\le\frac{4+b+c-4}{2}=\frac{b+c}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b+c-4}}\ge\frac{4a}{b+c}\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{\sqrt{a+c-4}}\ge\frac{4b}{a+c},\frac{c}{\sqrt{a+b-4}}\ge\frac{4c}{a+b}\).
Bất đẳng thức cần chứng minh sẽ đúng nếu ta chứng minh được:
\(\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
(đúng, theo bất đẳng thức Nesbitt)
Do đó ta có: \(\frac{a}{\sqrt{b+c-4}}+\frac{b}{\sqrt{a+c-4}}+\frac{c}{\sqrt{a+b-4}}\ge6\)
Dấu \(=\)khi \(a=b=c=2\).