cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. M,N lần lượt là trung điểm của OB, CD.
a) Chứng minh góc AMN= 90 độ, từ đó suy ra A, M, N,D thuộc cùng một đường tròn
b) so sánh AN với MD
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
MN là đường trung bình của tam giác AOB
\(\Rightarrow MN\)//AB
AM=NB=\(\frac{1}{2}OA\)=\(\frac{1}{2}OB\)
\(\Rightarrow AMNB\)là hình thang cân
MN//AB\(\Rightarrow MN\)//OB (1)
MN=\(\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}DC=DP\) (2)
từ (1),(2) suy raMNPD là hình bình hành
Xét tap giác DMB
MO vừa là đường tuy tuyến vừa là đường cao
suy ra DMB là tam giác cân
suy ra MBD=MDB (1)
tam giác OAN=tam giác OBM(tự chứng minh)
suy ra MBO=OAN(2)
từ 1 và 2 suy ra
OAN=MDB
mà DNP=MDB(SLT)
su ra DNP=OAN
xét tam giác OAN
OAN+ONA=90 độ
suy ra DNP + ONA=90 độ
suy ra NP vuông góc AN
mà DM//NP
suy ra DM vuông góc AN
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
a, Chứng minh: A B E ^ = A D E ^
b, Chứng minh được:
A
C
B
^
=
B
N
M
^
=> C, D, E nhìn AB dưới góc bằng nhau nên A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn
=> BC là đường kính => B E C ^ = 90 0
a: Xét ΔHAB có
M là trung điểm của HA
N là trung điểm của HB
Do đó: MN là đường trung bình
=>MN//AB và MN=AB/2
=>MN//KC và MN=KC
=>NCKM là hình bình hành
b; Xét ΔBMC có
BH là đường cao
MN là đường cao
BH cắt MN tại N
DO đó:N là trực tâm
=>CN vuông góc với BM
=>BM vuông góc với MK
hay góc BMK=90 độ