Cho đường tròn (O,R) và điểm A ở ngoài (O). Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với (O) (B, C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua điểm cố định b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O,R) và điểm A ở ngoài (O). Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với (O) (B, C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua điểm cố định
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ
nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó
a) Ta có: MB và MC là 2 tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn (O) => MB = MC và MO là phân giác ^BMC
Xét \(\Delta\)BCM cân tại M có đường phân giác MO => MO vuông góc BC tại H
=> ^OHK = 900 => \(\Delta\)OHK ~ \(\Delta\)OAM (g.g) => \(\frac{OH}{OA}=\frac{OK}{OM}\Rightarrow OA.OK=OH.OM\)
Xét \(\Delta\)MBO có ^MBO = 900 và BH vuông góc MO tại H
\(\Rightarrow OH.OM=OB^2=R^2\) (Hệ thức lượng trg tam giác vuông)
\(\Rightarrow OA.OK=R^2\) => OA.OK có giá trị ko đổi (đpcm).
\(\Leftrightarrow OK=\frac{R^2}{OA}\). Mà R2 và OA có độ dài ko đổi => OK có độ dài ko đổi.
Do K nằm trên OA cố định và OK ko đổi nên điểm K cố định.
=> BC luôn đi qua điểm K cố định (vì BC cắt OA tại K) (đpcm).
b) Ta thấy: ^OHK = 900 và OK không đổi (cmt)=> Điểm H di động trên 1 đường tròn cố đinh có đường kính OK.
c) Tứ giác MBOC có 2 đường chéo vuông góc với nhau nên \(S_{MBOC}=\frac{OM.BC}{2}\)
Ta có: \(OM\ge OA\)(Quan hệ đg xiên hình chiếu) \(\Rightarrow S_{MBOC}\ge\frac{OA.BC}{2}=R.BC\)(1)
Khi đó thì BC vuông góc OA => H trùng K => BC = 2.BK
Lại có: \(OK=\frac{R^2}{OA}=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}\). Áp dụng ĐL Pytago cho \(\Delta\)BKO:
\(\Rightarrow BK^2=OB^2-OK^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Leftrightarrow BK=\frac{\sqrt{3}.R}{2}\)
\(\Rightarrow BC=2.BK=\sqrt{3}.R\)(2)
Thế (2) vào (1) ta có: \(S_{MBOC}\ge\)\(\sqrt{3}.R.R=R^2\sqrt{3}\)
Vậy \(S_{MBOC}\)nhỏ nhất <=> Điểm M trùng với điểm A và \(Min_{S_{MBOC}}=R^2\sqrt{3}.\)
Bạn học trường THCS Ba Mỹ phải không?
Mình trường THCS Phú Ngãi?