Question

[Minh Nguyễn Cao]

Cho x, y thuộc R thỏa: \(x^2-xy+y^2=3\)

Tìm GTNN của: P = \(x^2+y^2\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Ta có: 

Với \(x=0\), \(y^2=3\Rightarrow P=3\)

Với  \(y=0\Rightarrow x^2=3\Rightarrow P=3\)

Với \(x\ne0,y\ne0\) thì ta có: \(\frac{P}{3}=\frac{x^2+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{\frac{x^2+y^2}{xy}}{\frac{x^2-xy+y^2}{xy}}=\frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1}\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\Rightarrow\frac{P}{3}=\frac{t+\frac{1}{t}}{t+\frac{1}{t}-1}=\frac{t^2+1}{t^2-t+1}\)

\(\Rightarrow Pt^2-Pt+P=3t^2+3\)

\(\Rightarrow\left(P-3\right)t^2-Pt+\left(P-3\right)=0\)

\(\Delta=P^2-4\left(P-3\right)^2=-3P^2+24P-36\)

Để \(\Delta\ge0\Rightarrow-3P^2+24P-36\ge0\Leftrightarrow2\le P\le6.\)

Khi P = 2 thì \(-t^2-2t-1=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow\frac{x}{y}=-1\)

Vậy thì \(x^2+x^2+x^2=3\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1,y=-1\\x=-1,y=1\end{cases}}\)

Vậy GTNN của P là 2 khi x = 1, y = -1 hoặc x = -1, y = 1