Cho:\(a\ge b\ge c\ge0.CMR:a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\ge a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 12 2017
Đặt \(\left(a^{\dfrac{1}{3}};b^{\dfrac{1}{3}};c^{\dfrac{1}{3}}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\\\left(a^3;b^3;c^3\right)\rightarrow\left(x^9;y^9;z^9\right)\end{matrix}\right.\)
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{1}{2x^9+3x^3+2}+\dfrac{1}{2y^9+3y^3+2}+\dfrac{1}{2z^9+3z^3+2}\ge\dfrac{3}{7}\)
Ta có BĐT: \(\dfrac{1}{2x^9+3x^3+2}\ge\dfrac{3}{7\left(x^{12}+x^6+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(7x^9+x^6+8x^3-1\right)}{7\left(x^6-x^3+1\right)\left(x^6+x^3+1\right)\left(2x^9+3x^3+2\right)}\ge0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge\dfrac{3}{7}\left(\dfrac{1}{x^{12}+x^6+1}+\dfrac{1}{y^{12}+y^6+1}+\dfrac{1}{z^{12}+z^6+1}\right)\)
Cần chứng minh \(\dfrac{1}{x^{12}+x^6+1}+\dfrac{1}{y^{12}+y^6+1}+\dfrac{1}{z^{12}+z^6+1}\ge1\)
Đặt tiếp \(\left(x^6;y^6;z^6\right)\rightarrow\left(n;h;t\right)\) thì có:
\(\dfrac{1}{n^2+n+1}+\dfrac{1}{h^2+h+1}+\dfrac{1}{t^2+t+1}\ge1\forall nht=1;n,h,t>0\)
Cái này đã làm rồi Here - còn tại sao lại đặt và có BĐT phụ như vậy thì ko nói nhé :)
NH
19 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)
2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 2 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{2b+3c}+\frac{b^3}{2c+3a}+\frac{c^3}{2a+3b}=\frac{a^4}{2ab+3ac}+\frac{b^4}{2bc+3ba}+\frac{c^4}{2ac+3bc}\)
\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2ab+3ac+2bc+3ba+2ac+3bc}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(ab+bc+ac)}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)}{5(ab+bc+ac)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{5}\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
VJ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2021
Đề bài sai
Phản ví dụ: \(a=\dfrac{1}{2};b=2;c=4\) vì VT<VP
C
25 tháng 2 2020
\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)
\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\)
\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\)
Cộng vế theo vế có ngay điều phải chứng minh
25 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{a}{b+2c+3d}+\dfrac{b}{c+2d+3a}+\dfrac{c}{d+2a+3b}+\dfrac{d}{a+2b+3c}\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+2ac+3ad}+\dfrac{b^2}{bc+2bd+3ab}+\dfrac{c^2}{cd+2ac+3bc}+\dfrac{d^2}{ad+2bd+3cd}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2}=\dfrac{2}{3}\)
*Chứng minh \(4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)\le\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-c^3b^2+c^3a^2-c^2a^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b+b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2a^2\right)\left(a-b\right)+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)+c^2\left(b^2-a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2\left(b+c\right)-c^2\left(a+b\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a\left(ab-c^2\right)+c\left(a^2-bc\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\ge b\ge c\ge0\)
cảm ơn bạn nhá, bạn trả lời giúp mình mấy câu hỏi về BĐT còn lại của mik đc ko? cảm ơn bn nhiều!