Tìm x,y,z nguyên tố
(x+2)(y+3)(z+4)=8xyz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 10 2020
Vì x,y,z là các số nguyên dương
nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(1)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(2)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta có :
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}=8\sqrt{xy\cdot yz\cdot zx}=8\sqrt{x^2y^2z^2}=8\left|xyz\right|=8xyz\)
( do x,y,z là các số nguyên dương )
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z
=> đpcm
3 tháng 6 2018
áp dụng BĐT AM-GM
ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)
=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z\left(ĐPCM\right)}\)
NC
0
23 tháng 1 2023
\(xy+yz+zx=8xyz\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=8\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}=64\)
Ta có: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\)
\(=\left(\dfrac{1}{x}+...+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+...+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{z}+...+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
(sau dấu chấm là bốn số tương tự).
\(\ge^{Cauchy-Schwarz}\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)
\(\Rightarrow64\ge\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{6x+y+z}+\dfrac{1}{6y+z+x}+\dfrac{1}{6z+x+y}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{8}\)
Vậy \(Max\) của biểu thức đã cho là 1.
1 tháng 7 2016
Bài toán không có lời giải vì không có số nguyên tố âm nên không có kết quả cho bài toán này
26 tháng 11 2017
bn gõ bài trong công thức trực quan ik, khó nhìn lắm, ko làm đc
LA
26 tháng 11 2017
1). x2y2(y-x)+y2z2(z-y)-z2x2(z-x)
2)xyz-(xy+yz+xz)+(x+y+z)-1
3)yz(y+z)+xz(z-x)-xy(x+y)
5)y(x-2z)2+8xyz+x(y-2z)2-2z(x+y)2
6)8x3(y+z)-y3(z+2x)-z3(2x-y)
7) (x2+y2)3+(z2-x2)3-(y2+z2)3
LV
0
Lời giải:
TH1: Một trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất 1 số bằng $2$
Nếu $x=2$ thì:
$(y+3)(z+4)=4yz$
$z=2$ thì dễ thấy vô lý. Do đó z lẻ, kéo theo $z+4$ lẻ.
Kết hợp $(z,z+4)$ nguyên tố cùng nhau nên:
$y+3=4z; z+4=y$
$\Rightarrow z=\frac{7}{3}$ (vô lý- loại)
Nếu $y=2$ thì:
$5(x+2)(z+4)=16xz$ nên 1 trong 2 số $z,x$ phải bằng $5$
$x=5$ thì thay vào thấy vô lý
$z=5$ thì thay vào thấy vô lý)
Nếu $z=2$ thì: $3(x+2)(y+3)=8xy$
$\Rightarrow$ 1 trong 2 số $x,y$ phải bằng $3$
$x=3$ thì $y=5$. Ta có bộ $(x,y,z)=(3,5,2)$
$y=3$ thì $x=6$ (loại)
TH2: Cả 3 số đều lẻ. Khi đó $x+2,z+4$ lẻ và $y+3$ chẵn.
$\Rightarrow y+3\vdots 8$ nên $y\neq 3$
$\Rightarrow (y+3,y)=1$
Vậy $(x+2,x)=1; (y+3, y)=1; (z+4,z)=1$
Khi đó, để $(x+2)(y+3)(z+4)=8xyz$ thì:
$x+2=y; y+3=8z; z+4=x$
$x+2=z; y+3=8x; z+4=y$
$x+2=yz; y+3=8; z+4=x$
Đến đây bạn giải như hpt ba ẩn.
mình cảm ơn ạ